|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Математическое описание импульсных системЕсли непрерывные процессы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, то для описания дискретных процессов используются разностные уравнения. Разностным уравнением называется уравнение, связывающее ординаты решетчатой функции с их конечными разностями. Значения решетчатой функции времени f (nT) или в сокращенной форме f (n) определяются в дискретные моменты времени t = nТ, где n – целое число, а Т – период повторения. Операция замены непрерывной функции f (t)решетчатой функцией f (n) = f (t)| t=nT показана на рис. 4.5.
Рис. 4.5. Решетчатая функция Ординаты решетчатой функции представляют собой так называемые дискреты исходной непрерывной функции f (t) при t = nТ. Дискреты f (t) могут быть определены и для смещенных моментов времени t = nТ + D Т = (n + e) Т, e = D Т/Т < 1. Смещенная решетчатая функция обозначается f (n + e). По определению, первая прямая (восходящая) разность или разность первого порядка имеет вид D x (n) = x (n +1) – x (n). Вторая разность или разность второго порядка – это разность первых разностей. Поэтому D2 x (n) = D x (n +1) – D x (n) = x (n +2) – 2 x (n +1) + x (n). В общем случае имеем
Первая обратная (нисходящая) разность имеет вид Ñ x (n) = x (n) – x (n –1). Обратная разность второго порядка Ñ2 x (n) = Ñ x (n) – Ñ x (n –1) = x (n) – 2 x (n –1) + x (n –2). В общем случае
Разностное уравнение может быть записано в прямой или обратной разностной формеилив соответствующих формах смещенных решетчатых функций. При использовании прямых разностей неоднородные линейные разностные уравнения имеют вид b 0D my (n) + b 1D m -1 y (n) + …+ b m y (n) = f (n), где f (n) – заданная, а y (n) – искомая решетчатые функции. С учетом выражений для прямых разностей получим a 0 y (n+m) + a 1 y (n+m– 1) + …+ a m y (n) = f (n). Соответствующие уравнения при использовании обратных разностей имеют следующий вид b 0Ñ my (n) + b 1Ñ m -1 y (n) + …+ bmy (n) = f (n). a 0 y (n) + a 1 y (n– 1) + …+ a m y (n–m) = f (n). Пример. Решить уравнение D2 y (n) + 2D y (n) + 2 y (n) = 1(n) с начальными условиями y (0) = 1, y (1) = 0. D2 y (n) + 2D y (n) + 2 y (n) = y (n +2) – 2 y (n +1) + y (n) + 2 y (n +1) – 2 y (n) + 2 y (n) = 1(n) y (n +2) + y (n) = 1(n); y (n +2) = 1(n) – y (n) n = 0: y (2) = 1 – y (0) = 1 – 1 = 0 n = 1: y (3) = 1 – y (1) = 1 – 0 = 1 n = 2: y (4) = 1– y (2) = 1 – 0 = 1 n = 3: y (5) = 1– y (3) = 1 – 1 = 0
Разностные уравнения можно рассматривать как рекуррентные соотношения, позволяющие по уравнению вида (4.1) вычислять значения y (m+n) при n = 0, 1, 2,… при заданных начальных условиях y (0), y (1),..., y (m– 1). Такие вычисления легко алгоритмизировать даже в случае, когда коэффициенты разностных уравнений аi (i = 0, 1,..., m) с течением времени изменяются. Это отличает разностные уравнения от их непрерывных аналогов – дифференциальных уравнений. Для определения и исследования решений разностных уравнений широко используются дискретное преобразование Лапласа, Z -преобразование, w -преобразование, а также частотные методы. 4.1.2 Z- преобразование Для решетчатых функций времени вводится понятие дискретного преобразования Лапласа
Изображение решетчатой функции F *(p) является функцией величины epT. Для исследования импульсных систем используется Z- преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа. Под Z- преобразованием понимается изображение несмещенной решетчатой функции, определяемое формулой
Для Z- преобразования используется обозначение F (z) = Z [ f (n)], F (z) = Z [ f (t)] или F (z) = Z [ F (p)], при этом Z [ f (t)] = Z [ f (n)], t = nT; Z [ F (p)] = Z [ f (n)], f (n) = f (t), t = nT, Для смещенных решетчатых функций используется модифицированное Z-преобразование
Обозначается оно как F (z,e) = Z e[ f (n)], Z e[ f (t)], или Z e[ F (p)]. Z -преобразованиепрактически совпадает с дискретным преобразованием Лапласа и отличается от него только изображением аргумента, z = epT. Отметим несколько важных свойств Z -преобразования. а. Линейность Z [ c 1 f 1(n) + c 2 f 2(n)] = c 1 F 1(z) + c 2 F 2(z). б. Правило упреждения или запаздывания
При нулевых начальных условиях f (0) = f (1) =…= f (m –1) = 0 Z [ f (n+m)] = zmZ [ f (n)] = zmF (z). с. Правило умножения на аргумент
Это правило позволяет вычислять Z -преобразование (изображение) полиномиальных решетчатых функций. д. Правило свертки. Если F 1(z) = Z [ f 1(n)] и F 2(z) = Z [ f 2(n)], то
е. Конечные значения. Начальные и конечные значения решетчатой функции определяются в виде
Примеры вычисления Z–преобразования
Рис. 4.6. Примеры решетчатых функций 1. f (n) = 1(n) (рис. 4.6, а) По определению Z -преобразования 2. f (n) = nT (рис. 4.6, б). Используя правило умножения на аргумент, найдем Для смещенной импульсной функции f (n +e) = (n +e) T модифицированное преобразование дает 3. f (n +e) = e -g( n +e) T . По определению, Z -преобразования Обозначим d = e -g T: Для действительных g = a и d = e –a T (рис. 4.6, в) Z -преобразование имеет вид Если g = a + i b комплексное число, то импульсная функция примет вид f (n +e) = e -a(n +e) Т [ cos b(n +e) T – i∙sin b(n +e) T ] Отделяя реальную и мнимую части изображения, запишем Из этой формулы можно получить Z -преобразования основных функций (табл. 4.1). Например, импульсная функция f (nT) = sin b nT (рис. 4.5, г) получается из выражения f (nT) = f (n +e) =
Таблица 4.1 Таблица Z-преобразований
Решение разностных уравнений с помощью Z-преобразования Рассмотрим разностное уравнение a 0 y (n+m) + a 1 y (n+m– 1) + …+ a m y (n) = f (n) с начальными условиями y (k) = yk, k = 0, 1,…, m– 1. Найдем Z -преобразование от его левой и правой частей: a 0 Z { y (n+m)} + a 1 Z { y (n+m– 1)} + …+ amZ { y (n)} = Z { f (n)}. В соответствии с правилом смещения для случая упреждения на r тактов Подставляя r = m, m– 1, …, 0 и переходя в уравнении к изображениям, получим
В правой части этого уравнения, кроме изображения F (z) решетчатой функции f (n), находятся члены, определяемые начальными условиями. Сумма их обозначена Y0 (z). Изображение Y (z) искомой решетчатой функции y (n) примет вид
где Отдельный интерес представляет случай, когда искомая решетчатая функция тождественно равна нулю до момента n = m –1 включительно, y (k) = 0, k = 0, 1,..., m– 1 (эквивалентно случаю нулевых начальных условий при решении дифференциальных уравнений для непрерывных функций). Тогда выражение (4.22) приобретает вид
Остается найти оригинал y (n) = Z -1{ Y (z)}. Существуют различные методы определения решетчатой функции по ее изображению: использование вычетов, рядов Лорана, таблиц Z -преобразования. Пример. Решим разностное уравнение y (n +1) – y (n) = 1(n) с начальным условием y (0)=0. Применим Z -преобразование к обеим частям уравнения и получим Из таблиц Z -преобразования находим Следовательно, y (n) = n. Решить это уравнение легко, используя рекуррентное соотношение y (n +1) – y (n) = 1(n). Так как y (0) = 0, то y (1) = y (0) + 1 =1, y (2) = y (1) + 1 = 2 и т. д.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.) |