АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Метод гармонического баланса

Читайте также:
  1. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  2. I. Методические основы
  3. I. Предмет и метод теоретической экономики
  4. II. Метод упреждающего вписывания
  5. II. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
  6. II. Методы непрямого остеосинтеза.
  7. II. Проблема источника и метода познания.
  8. II. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ
  9. III. Методологические основы истории
  10. III. Предмет, метод и функции философии.
  11. III. Социологический метод
  12. III. УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО КУРСУ «ИСТОРИЯ ЗАРУБЕЖНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ К. XIX – НАЧ. XX В.»

Проблема существования автоколебаний и оценки их размаха является крайне сложной и не имеет строгого математического решения. Однако существует простой подход, дающий разумные приближенные результаты – метод гармонического баланса (гармонической линеаризации), предложенный Н.М. Крыловым[3] и Н.Н. Боголюбовым.

Рассмотрим систему с одним нелинейным статическим элементом (рис. 5.24) с однозначной нечетной характеристикой (без гистерезисной петли).

Рис. 5.24. Система с одним нелинейным элементом

Получим уравнение системы относительно ошибки e (t):

e (t) + G (p) z (t) = 0; z (t) = Ф[ e (t)].

Будем искать колебательное решение в виде гармонической функции e (t) = asin w t и подберем амплитуду a и частоту w, чтобы уравнения системы удовлетворялись тождественно.

Так как функция Ф[ e (t)] является нечетной, то ее разложение в ряд Фурье имеет вид

где zk – коэффициенты ряда Фурье; для нечетной функции

Коэффициенты zk зависят только от вида нелинейной функции Ф[ e ] и амплитуды a.

Учтем только одно слагаемое в разложении, принимая z (t)= z 1sinw t. Получим условия для определения a и w.

e (t) + G (p) z (t) = 0, e (t) = a sinw t, z (t) = z 1sinw t Þ

a sinw t + G (p) z 1sinw t = 0 Þ

a sinw t + z 1[| G (i w)|sin(w t + arg(G (i w)]=

a sinw t+ z 1| G (i w)|[sinw t cosj + cos w tsin j] =

asin w t + z 1[ U (w) sin w t + V (w) cos w t ] =0 Þ

z 1 V (w) = 0, a + z 1 U (w) = 0,

где V (w) = Im G (i w), U (w) = Re G(i w).

Условия z 1 V (w) = 0, a+ z 1 U (w) = 0 можно записать в виде одного соотношения|

Это основное уравнение метода гармонического баланса. Функция q (a) называется коэффициентом гармонической линеаризации. Поясним смысл слов «гармонический баланс» и «гармоническая линеаризация».

Приняв e (t) = a sinw t, z (t) = z 1sinw t, мы удовлетворили уравнения системы, отбросив в соотношении z =Ф[ e ] все слагаемые ряда Фурье, кроме первой гармоники, т. е. сбалансировали в уравнении системы гармоники вида sinw t.

С другой стороны, этот прием эквивалентен предположению, что

т. е. выход z (t) и вход e (t) нелинейного элемента связаны линейной зависимостью с коэффициентом пропорциональности q (a). Замена нелинейного элемента линейным элементом, коэффициент усиления которого зависит от амплитуды входа, именуется гармонической линеаризацией нелинейности. Прием гармонического баланса эквивалентен гармонической линеаризации, если этот коэффициент принят равным

Подставляя z = q (a)∙ e в уравнение e (t) + G (p) z (t) = 0, получим

[1+ q (a) G (p)] e (t)=0.

Тогда основное соотношение гармонического баланса
1+ q (a) G (i w) = 0 может интерпретироваться как условие наличия чисто мнимого корня у характеристического уравнения гармонически линеаризованной системы.

Подчеркнем, что коэффициент q (a) гармонической линеаризации зависит от амплитуды a, которая заранее неизвестна, и в этом принципиальное отличие уравнения [1+ q (a) G (p)] e (t) = 0 от обычного линейного уравнения.

Как мы уже говорили, коэффициент гармонической линеаризации q (a) можно найти в явном виде, вычисляя соответствующий интеграл. При известной функции q (a) определение величин a и w удобно произвести графоаналитически. Для этого есть несколько вариантов.

Вариант 1 (рис. 5.25).

· построить график V (w) и найти w = w* > 0, при которой V (w*) = 0. Значение w* определяет частоту автоколебаний (период автоколебаний T = 2p/w*);

Рис. 5.25. Графическое определение параметров автоколебаний

· построить график q (a) и найти точку его пересечения с прямой, проведенной параллельно оси абсцисс на уровне –1/ U (w*). Эта точка определяет амплитуду автоколебаний a*.

Вариант 2 (диаграмма Гольдфарба, рис. 5.26).

Рис. 5.26. Диаграмма Гольдфарба

· построить годограф G (i w), разметив точки на кривой соответствующими значениями частоты w Î [0, ¥);

· на вещественной оси расположить годограф функции –1/ q (a), т. е. вычислить значения этой функции при a Î [0, ¥);

· точка пересечения графиков дает решение a * на годографе –1/ q (a) и w* на годографе G (i w).

Вариант 3 (диаграмма Айзермана, рис. 5.27).

Рис. 5.27. Диаграмма Айзермана

· построить годограф G -1(i w);

· построить годограф функции – q (a);

· точка пересечения годографов дает решение a *, w*.

Все эти варианты следуют из соотношения 1 + q (a) G (i w) = 0:

V = Im G (i w) = 0, q (a) = – U -1 = –[Re G (i w)]-1 Þ G (i w) = –1/ q (a) Þ
q (a) = G -1(i w).

Решений может быть несколько, а может не быть ни одного. Если решение существует при каких-либо параметрах системы, то оно будет иметь место и при малых их изменениях, т. е. факт наличия колебаний (колебательный режим) является «грубым».

Пример.

Рассмотрим следящую систему, у которой линейная часть задается передаточной функцией G (p)

а управление релейное, имеет характеристику «идеального реле»:

Найдем коэффициент гармонической линеаризации нелинейности q (a) (рис. 5.28).

Рис. 5.28. К определению коэффициента гармонической линеаризации

Для аналитического определения параметров автоколебаний используем соотношение G -1(i w) = – q (a).

При использовании диаграммы Айзермана (рис. 5.29) имеем:

U 1 = Re{ G -1(i w)}= – Т мw2/ k, V 1 = Im{ G -1(i w)} = w(1– Т э Т мw2)/ k.


a ®0

a ®¥ U

a *,w*

 

Рис. 5.29. Применение диаграммы Айзермана

Теперь получим решение графоаналитическим методом (рис. 5.30):

V (w) =k (1– Т э Т мw2)/w[(1– Т э Т мw2)2+ Т м2w2]; V (w) = 0 Þw * = .

U (w) = м / [(1– Т э Т мw2)2 + Т м2w2], –1/ U () = 1/ э.

q (a) = 4/p a; 1/ э = 4/p a Þ a = 4 э/p.

Рис. 5.30. Применение графоаналитического метода

При использовании диаграммы Гольдфарба (рис. 5.31):

U = Re { G (i w)} = – м / [(1– Т э Т мw2)2 + Т м2w2],

V = Im { G (i w)} = – k (1– Т э Т мw2) / w[(1– Т э Т мw2)2 + Т м2w2].

Рис. 5.31. Применение диаграммы Гольдфарба

Замечание 1. Если функция Ф(е) не является нечетной или нарушается условие | G (0)| << | G (i w*)|, основной вариант метода гармонического баланса можно заменить на улучшенный, учитывающий при поиске решения возможную несимметрию колебаний. Решение ищется в виде e (t) = e 0 + a∙sin w t, где e 0 – постоянное смещение, а в разложении в ряд Фурье функции z (t) = Ф[ e 0 + a∙sin w t ] учитывается два слагаемых, т. е. принимается
z (t) = z 0 + z 1 sinw t, где

Возможный периодический режим (автоколебания) – решение уравнения e (t) +G (p) z (t) = 0, откуда получаем:

· баланс по постоянной составляющей e 0 + G (0) z 0(a,e 0) = 0,

· баланс по гармонической составляющей (2 уравнения):

а + z 1(a, e 0, w) G (i w) = 0.

Имеем 3 уравнения для определения 3-х неизвестных e 0 *, a*, w *.

Замечание 2. Если функция Ф(е) не является статической однозначной характеристикой (в частности, для нелинейностей типа «люфт»), а также в более общем случае z = Ф(е, ), имеем:

Уравнение гармонического баланса для определения автоколебаний примет вид

G (i w) = –1/ [ q (a) + iq 1(a)].

Пример.

Рассматривается система, линейная часть которой задается передаточной функцией G (р), а нелинейный элемент имеет характеристику люфта.

a-b
Ф
Вычисляем коэффициенты гармонической линеаризации q (a) и q 1(a) (рис. 5.32).

Рис. 5.32. К определению коэффициентов гармонической линеаризации

Далее используем условие G (i w) = –1/ [ q (a) + iq 1(a)] (рис. 5.33).

Рис. 5.33. Применение диаграммы Гольдфарба

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.012 сек.)