Первый метод Ляпунова

Первый метод Ляпунова применяется для исследования устойчивости по линеаризованным уравнениям для малых вариаций переменных.

Применение метода к дифференциальным уравнениям
в форме Коши

Пусть динамическая система описывается уравнениями (5.23). Обозначим через х* вектор координат исследуемого положения равновесия, т. е. решение системы уравнений при f (х) = 0. Положим, что функции f допускают разложение в степенной ряд в точке х*. Пренебрегая малыми высшего порядка по сравнению с вариациями D х, получим вместо уравнений (5.23) линеаризованную систему

x=x*

где A ― матрица первых производных нелинейных функций (матрица Якоби), вычисляемых в точке равновесия х = х*.

Первый метод Ляпунова базируется на том, что об устойчивости положения равновесия нелинейной системы в “малом” можно судить по результатам анализа линеаризованной системы:

· если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части, т. е. линеаризованная система устойчива, то положение равновесия устойчиво

· если линеаризованная система неустойчива, то положение равновесия неустойчиво.

Первый метод Ляпунова применяется очень часто. Однако он имеет следующие недостатки:

· исследуется только устойчивость “в малом”;

· метод применим только для систем, линеаризуемых в окрестности положений равновесия.

Исследование устойчивости
по дифференциальным уравнениям n-го порядка

Дано дифференциальное уравнение

a ₀ y ^{( n )} + a ₁ y ^{( n -1)} + a ₂ y ^{( n -2)} +...+ a_ny = 0,

которое приводится к виду

Ф(y, y’,…, y ^{( n )}) = 0.

Положения равновесия являются действительными решениями уравнения статики Ф(y, 0,…, 0) = 0, полученного из исходного уравнения приравниванием производных нулю. Выбирается исследуемое положение равновесия y*, и левая часть исходного уравнения раскладывается в степенной ряд при условии, что функция F аналитична в его окрестности:

Полагая, что отклонения переменной y и ее производных малы, можно пренебречь в разложении малыми высших порядков. В результате получится линейное дифференциальное уравнение

коэффициенты которого равны значениям частных производных функции F в точке равновесия.

Положение равновесия исходной нелинейной системы устойчиво, если все корни характеристического уравнения
Q (p) = a ₀ pⁿ + … + a_{n -1} p + a_n = 0 имеют отрицательные действительные части.

Пример.

Исследуем устойчивость положения равновесия осциллятора Ван дер Поля, описываемого дифференциальным уравнением второго порядка:

Ф(y, y’, y”) = y” – m(1 – y ²)y’ + y = 0.

Система имеет единственное положение равновесия y* = y’ = y” = 0. Линеаризованное для малых отклонений уравнение запишется так:

Характеристическое уравнение Q (p) = p ² – m p + 1 = 0 имеет следующие корни

Положение равновесия не устойчиво, если m > 0. При значении m ³ 2 на фазовой плоскости в начале координат имеется особая точка типа “неустойчивый узел”. При значениях 0 < m < 2 там же будем иметь особую точку типа “неустойчивый фокус”. Фазовый портрет осциллятора Ван дер Поля (рис. 5.16) имеет устойчивый предельный цикл, которому соответствуют автоколебания.

Рис.. 5.16. Фазовый портрет осциллятора Ван дер Поля (0 < m < 2)

В заключение отметим, что в случае нескольких положений равновесия их устойчивость исследуется поочередно.

Поиск по сайту: