|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Устойчивость импульсных системОбщее решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом: у (n) = С 1 z 1 n + С 2 z 2 n +... + Сmzmn, где z i (i = 1, 2,..., m) – корни характеристического уравнения системы; Подобно непрерывным системам, устойчивость линейных импульсных систем автоматического управления определяется по характеристическому уравнению Q (z) = а 0 zm + а 1 zm -1 +...+ аm = 0 или знаменателю Q (z) передаточной функции G (z) = P (z)/ Q (z) замкнутой системы. Импульсная система устойчива, если все корни характеристического уравнения Q (z) = 0 расположены внутри единичного круга (рис. 4.11), т. е. | z i| < 1 (i = 1, 2, …, m). Рис. 4.11. Расположение корней характеристического полинома Несмотря на наличие дискретных аналогов всех критериев устойчивости непрерывных систем, простейший способ выяснения устойчивости дискретной системы состоит в использовании в характеристическом уравнении Q (z) = 0 или в передаточной функции G (z) подстановки z = (w +1)/(1– w) с последующим применением известных критериев устойчивости непрерывных систем. Указанная подстановка замечательна тем, что переводит внутренность единичного круга плоскости z в левую полуплоскость w. Действительно, для внутренности единичного круга имеем | z | < 1. Тогда при w = a + ib, где a = Re w, b = Im w получим из этого условия:
Таким образом, условие | z | < 1 равносильно требованию Re w < 0. Положив z = (w +1)/(1– w) и подставив в характеристическое уравнение, получим a 0(w +1) m + a 1(w +1) m -1(1– w) + … + am -1(w +1)(1– w) m -1 + am (1– w) m = где Так как | z | < 1 при Re w < 0, то для проверки условия Re w < 0 можно воспользоваться критерием Гурвица. Например, характеристическое уравнение после подстановки z =(w +1)/(1– w) приводится к виду Согласно критерию Гурвица условия устойчивости для системы 2-го порядка имеют вид
Пример. Исследование устойчивости движения поворотной платформы с дискретным датчиком угла поворота (рис. 4.12). Рис. 4.12. К исследованию устойчивости поворотной платформы Чтобы обеспечить вращение поворотной платформы с высокой точностью, используется система автоматического управления с обратной связью и датчиком угла поворота (ДОС). Упрощенная математическая модель системы имеет вид: J = Mд; Mд = смI; rI = u – ce . Если ДОС непрерывный, то управляющее напряжение на двигатель при использовании пропорционально-дифференциального закона управления имеет вид u= K (a Dw + Dj), где Dj = j* – j (j*, j характеризуют желаемую и реальную траектории движения платформы соответственно), Dw = . Структурная схема системы приведена на рис. 4.13. Рис. 4.13. Структурная схема непрерывной системы Исследуем устойчивость этой системы. Передаточная функция системы имеет вид Характеристическое уравнение где Т м = Jr / c e cм – электромеханическая постоянная времени, k = К / c e. По характеристическому уравнению заключаем, что непрерывная система устойчива при любых a, k > 0. Если ДОС дискретный (или устройство управления имеет дискретный характер), то управляющее напряжение будет изменяться один раз за период следования T сигналов датчика положения: Du (t)= K (ap +1)Dj(nT), nT £ t < (n +1) T. Имеем импульсную систему, структурная схема которой приведена на рис. 4.14. Выражение для импульсной передаточной функции системы: где G н(p) – передаточная функция непрерывной части системы Рис. 4.14. Структурная схема импульсной системы Получим выражение для передаточной функции G раз(z) разомкнутой системы. В результате выражение для G раз(z) принимает вид: Получим характеристическое уравнение 1 + G раз(z) = 0: На основе алгебраического критерия имеем следующие условия устойчивости При T << T м может быть получена оценка T < 2 T м/(1 + a k). Чем больше общий коэффициент усиления разомкнутой цепи, тем меньше должен быть период квантования сигналов обратной связи, т. е. тем чаще должна сниматься информация о текущем состоянии. Для уравнений высокого порядка исследование устойчивости может выполняться с помощью критерия Найквиста. Для этого используются частотные характеристики импульсных систем. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |