Наблюдаемость объекта

Как уже было сказано выше, у полностью наблюдаемого объекта можно определить начальное состояние X ₀ по результатам наблюдений за его выходом Y (t) на конечном интервале .

На рис. 2.59 показаны графики двух наблюдаемых переменных состояния x ₁(t), x ₃(t), которые являются компонентами вектора выхода Y (t) трехмерного объекта (y ₁ = x ₁, y ₂ = x ₃). Если объект полностью наблюдаемый, то по известным начальным значениям y ₁₀ = x ₁₀, y ₂₀ = x ₃₀ и последующим значениям x _{1 i}, x _{3 i} при t_i ≤ t _к можно вычислить начальное значение x ₂₀ и другие последующие значения переменной x ₂(t).

x 30

x 20

x' 20

x 3

x 2

Рис. 2.59. Графики наблюдаемых переменных состояния

Согласно критерию Р. Калмана для полной наблюдаемости объекта необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

где Т – символ операции транспонирования матриц.

Так же, как и в критерии управляемости, при исследовании наблюдаемости использование критерия упрощается при известном ранге матрицы С, канонической диагональной форме матрицы A или ее канонической жордановой форме. Для исследования наблюдаемости в MATLAB используют функцию obsr. Синтаксис следующий: rank (obsr (С,A)).

Пример.

Проверяем критерий управляемости Калмана для системы двигатель–редуктор–нагрузка:

Критерий выполняется, система полностью наблюдаема.

Имеется существенная разница между наблюдаемостью по Калману и обычной практической наблюдаемостью (измеряемостью) объекта. С практической точки зрения наблюдаемыми являются лишь те переменные состояния, которые можно непосредственно измерить с помощью существующих измерительных устройств. Наблюдаемыми же по Калману являются не только непосредственно измеряемые переменные, но и те переменные, которые могут быть вычислены как некоторые функции непосредственно измеряемых переменных. Очевидно, что полная наблюдаемость по Калману является лишь необходимым, но недостаточным, условием практической наблюдаемости.

С другой стороны, полная практическая наблюдаемость, означающая возможность непосредственного измерения всех переменных состояния объекта, является достаточным, но отнюдь не обязательным, условием полной наблюдаемости по Калману. Действительно, если все переменные состояния доступны непосредственному измерению, то матрица наблюдаемости имеет диагональный вид: С = C ^T = diag (c ₁₁, c ₂₂, …, c_nn), где c_ii – коэффициенты передачи измерительных устройств. При этом
rank C ^T = n, критерий Калмана всегда выполняется независимо от вида матрицы А.

2.6.3 Оценка управляемости и наблюдаемости объектов
по их структурным схемам

Всякий сложный объект состоит из отдельных, связанных между собой блоков. Для каждого блока на основании его передаточной функции можно получить уравнения состояния и по ним, применяя указанные выше критерии, оценить управляемость и наблюдаемость. Для оценки управляемости и наблюдаемости всего объекта можно использовать следующие теоремы.

Теорема 1. Для полной управляемости и полной наблюдаемости объекта, состоящего из параллельно соединенных блоков, необходимо и достаточно полной управляемости и наблюдаемости каждого отдельного блока.

Теорема 2. Для полной управляемости и наблюдаемости объекта, состоящего из последовательно соединенных блоков, необходимо (но недостаточно) полной управляемости и наблюдаемости каждого блока.

Теорема 3. Для полной управляемости и наблюдаемости объекта с обратной связью необходимо и достаточно полной управляемости и наблюдаемости последовательного соединения блоков прямого канала и цепи обратной связи.

Можно дать и другую формулировку теоремы 3: для полной управляемости и наблюдаемости замкнутой САУ необходимо и достаточно полной управляемости и наблюдаемости соответствующей разомкнутой САУ.

Поясним практическую целесообразность использования приведенных теорем. Пусть, например, объект состоит из двух структурных блоков, причем порядок каждого блока n = 5. Тогда общее число уравнений состояния объекта равно 10 и, следовательно, матрица A имеет 100 элементов. В то же время матрица A для каждого отдельного блока имеет только по 25 элементов, т. е. в 4 раза меньше. Отсюда ясно, что двукратное использование критерия Калмана при
n = 5 потребует значительно меньших ресурсов, чем его однократное использование при n = 10.

Если передаточная функция объекта имеет хотя бы один нуль, равный ее полюсу, то объект не может быть одновременно полностью управляемым и полностью наблюдаемым. Поэтому внешним признаком такой неполной управляемости или наблюдаемости является наличие одинаковых операторных полиномов в числителе и знаменателе передаточной функции объекта.

2.6.4 Управляемость и наблюдаемость типовых
динамических звеньев

Утверждение 1. Идеальное интегрирующее звено, апериодические звенья первого и второго порядков, а также колебательное звено полностью управляемы и наблюдаемы при любых численных значениях их параметров.

В справедливости данного утверждения легко убедиться путем непосредственного применения критериев Калмана об управляемости и наблюдаемости к уравнениям состояния перечисленных звеньев.

Утверждение 2. Безынерционное усилительное звено полностью управляемо и наблюдаемо при любых значениях его коэффициента усиления.

Для данного звена нельзя записать уравнение состояния, поэтому доказательством утверждения может служить простое рассуждение. Последовательное соединение этого звена и, например, апериодического звена первого порядка эквивалентно тоже апериодическому звену первого порядка, но с другим коэффициентом усиления. Поскольку согласно утверждению 1 новое апериодическое звено полностью управляемо и наблюдаемо, то из выполнимости необходимых условий теоремы 2 следует, что безынерционное усилительное звено формально тоже является полностью управляемым и наблюдаемым.

Утверждение 3. Реальное дифференцирующее звено со статизмом G (p) = kT ₀ p /(Tp +1) полностью управляемо и наблюдаемо при любых значениях его параметров.

Доказательство аналогично выше приведенному. Эквивалентом указанного звена является параллельное соединение безынерционного усилительного звена и апериодического звена первого порядка, поэтому из утверждений 1, 2 и теоремы 1 следует справедливость данного утверждения.

Утверждение 4. Реальное дифференцирующее звено без статизма G (p) = k (T ₀ p +1)/(Tp +1), T ₀ > T полностью управляемо и наблюдаемо при любых значениях его параметров.

Если рассматриваемое звено G ₁(p) = k (T ₀ p +1)/(Tp +1) параллельно соединить с апериодическим звеном первого порядка G ₂(p) = k /(Tp +1), то получим реальное дифференцирующее звено со статизмом G ₃(p) = kT ₀ p /(Tp +1). Поэтому из утверждения 3 и теоремы 1 следует справедливость утверждения 4.

Утверждение 5. Идеальное дифференцирующее звено полностью управляемо и наблюдаемо.

Последовательное соединение указанного звена и апериодического звена первого порядка эквивалентно реальному дифференцирующему звену без статизма, которое согласно утверждению 4 полностью управляемо и наблюдаемо. Поэтому из утверждения 1 и теоремы 2 очевидна справедливость данного утверждения.

Замечание. Управляемость и наблюдаемость — это свойство не самого объекта (или системы), а его математической модели в виде уравнений состояния. При одном выборе переменных состояния обеспечивается полная управляемость, а при другом — полная наблюдаемость. Эти проблемы возникают, если модель объекта представлена дифференциальным уравнением.

Понятия управляемости и наблюдаемости важны, например, тогда, когда алгоритм управления формируется не в зависимости от ошибки системы, а в функции переменных состояния: u = u (x ₁,..., x_n). Однако в изложенном выше смысле они не всегда совпадают с практическими представлениями. Даже если какая-либо переменная состояния и может быть вычислена по доступным для измерения выходным величинам, обработка этих величин, особенно при наличии помех, может быть сложной. Поэтому практически наблюдаемыми переменными обычно считаются те из них, которые могут быть непосредственно измерены теми или иными датчиками.

Поиск по сайту: