|
||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Частотные критерии устойчивостиНа практике алгебраические критерии применяют к системам невысокого порядка (n < 5...6). При более высоком порядке системы применение алгебраических критериев становится неэффективным из-за резко возрастающей трудоемкости вычислений. В этом случае для анализа устойчивости применяют частотные критерии, основным из которых является критерий Найквиста. Критерий Найквиста позволяет не только установить сам факт устойчивости или неустойчивости системы, но и определить запасы устойчивости. Критерий Михайлова Пусть Q (l) – характеристический полином системы. По Q (l) строится кривая Михайлова – АФХ характеристического полинома. l ® i w Þ Q (i w) = a 0(i w) n + a 1(i w) n -1 + … + an -1(i w)1 + an, Re Q (i w) = an – an -2w2 + an -4w4 – …; Im Q (i w) = an -1w – an -3w3 + an -5w5 – … Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова проходила через «n» квадрантов (или делала поворот на угол Dj = n ×p/2, где n – порядок характеристического полинома (порядок характеристического уравнения). Замечания. 1. Наибольший возможный угол поворота Dj £ n ×p/2. 2. Всегда Dj = k ×p/2 (k – целое), т. е. кривая Михайлова проходит целое число квадрантов; для устойчивой системы – k = n, для неустойчивой системы – k < n. 3. Dj = p/2×(n – 2 N +), где N + – число «неустойчивых корней» (корней с положительной вещественной частью). 4. Если система устойчива, то j(w) – монотонная функция. 5. Критерий можно применять для исследования устойчивости как замкнутых, так и разомкнутых систем (в последнем случае нужно рассматривать характеристический полином разомкнутой системы). Другая формулировка критерия Михайлова. Для устойчивости линейной системы при положительных коэффициентах характеристического уравнения, необходимо и достаточно, чтобы кривые X (w) = Re Q (i w) и Y (w) = Im Q (i w) имели в сумме число пересечений с осью абсцисс равное порядку n уравнения и чтобы абсциссы этих точек перемежались. Пример. Q (p) = p 3+3 p 2+2 p +1
Рис. 2.40. АФХ устойчивой системы Пример. Q (p) = 3 p 3+ p 2+ p +2.
Рис. 2.41. АФХ неустойчивой системы Критерий Найквиста Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости САУ по характеристикам ее разомкнутой части. Поэтому для его использования система должна быть приведена к стандартной форме (с единичной отрицательной обратной связью, рис. 2.42).
x (t) y (t) G раз(p) – ПФ разомкнутой системы G раз(p)
Рис. 2.42. Стандартная форма представления системы Формулировка критерия зависит от устойчивости разомкнутой системы. 1. Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы было равно нулю суммарное число пересечений амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы отрезка вещественной оси (–1; –¥). При этом пересечению снизу вверх присваивается значение –1, а пересечению сверху вниз +1 (рис. 2.44). 2. Если разомкнутая система находится на границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы было равно нулю суммарное число пересечений амплитудно-фазовой характеристикой отрезка вещественной оси (–1; –¥), дополненной в точках разрыва дугами бесконечно большого радиуса. 3. Если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы суммарное число пересечений амплитудно-фазовой характеристикой отрезка вещественной оси (-1; -¥) было равно N +/2, где N + – число неустойчивых корней. Рис. 2.43. К подсчету числа пересечений Разомкнутая система находится на границе устойчивости, если ее характеристический полином (знаменатель передаточной функции разомкнутой системы) имеет корни с нулевой вещественной частью. В случае нулевых корней АФЧХ разомкнутой системы имеет разрыв при ω = 0. Этот разрыв равен –π∙ m /2, где m – кратность нулевого корня. Поэтому АФЧХ следует дополнить дугой, равной –π∙ m /2, начинающейся с положительной вещественной полуоси (рис. 2.44, радиус дуги R = µ).
Рис. 2.44. Разрыв АФЧХ при ω = 0 Если же характеристический полином разомкнутой системы имеет чисто мнимые корни, соответствующие звеньям с ПФ , то разрыв имеет место в точках ω i = 1/ Ti и равен -π. Поэтому АФЧХ в каждой подобной точке дополняется дугой равной -π (рис. 2.45). Наиболее удобно применять критерий Найквиста в терминах логарифмических частотных характеристик.
Рис. 2.45. Разрыв АФЧХ при ω = 1/ Т Критерий Найквиста в терминах логарифмических Для применения критерия Найквиста при исследовании замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью (система должна быть предварительно приведена к указанному виду) строятся логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы. Итак, об устойчивости замкнутой системы судят по характеристикам ее разомкнутой части. Вся «прелесть» использования критерия Найквиста заключается в том, что логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы обычно легко построить. Рассматривается область частот, где L (w) > 0. На этом участке считается число пересечений фазовой характеристикой уровней 1. Если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы равнялось нулю суммарное число пересечений ЛФХ уровня –p ± 2p k в области частот, где L (w) > 0. Пересечению ЛФХ уровня -p ± 2p k сверху вниз присваивается -1, снизу вверх - +1. Если фазовая характеристика начинается с этого уровня, такому пересечению присваивается соответственно -1/2 или 2. Если разомкнутая система неустойчива (имеет N+ корней с положительной вещественной частью), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы суммарное число пересечений ЛФХ уровня –p±2p k в области частот, где L (w) > 0 было равно N+ /2. Резюме. Для исследования устойчивости линейной САУ по критерию Найквиста следует: 1. Привести систему к стандартному виду (с единичной отрицательной обратной связью). 2. Привести выражение для передаточной функции разомкнутой части системы к стандартной форме (произведению передаточных функций элементарных звеньев). 3. Исследовать устойчивость разомкнутой системы (по корням характеристического полинома – знаменателя передаточной функции). 4. Построить логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы. 5. Воспользоваться соответствующей формулировкой критерия Найквиста в терминах логарифмических частотных характеристик.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |