Второй метод Ляпунова

Исследование устойчивости нелинейных систем является сложной проблемой. Одним из методов точного исследования устойчивости является применение теоремы Ляпунова (второй метод Ляпунова). Этот метод универсален, он не связан с линеаризацией уравнений движения и не накладывает особых ограничений на их правые части. Вместе с тем, применение второго метода Ляпунова в практике проектирования систем управления осложняется двумя обстоятельствами:

· отсутствие общих рекомендаций по выбору функций Ляпунова;

· достаточный характер утверждений, т. е. если условия не выполняются, то об устойчивости положения равновесия ничего сказать нельзя, можно только порекомендовать подобрать другую функцию Ляпунова.

Формулировка теоремы Ляпунова.

Математическая модель системы представляется в форме Коши, как система дифференциальных уравнений 1-го порядка для переходного процесса в отклонениях переменных от их значений в установившемся процессе:

Функции f ₁, f ₂, …, f_n могут иметь произвольный вид и содержать любые нелинейности, но удовлетворяют условию f ₁ = f ₂ =…= f_n = 0 при x ₁ = x ₂ =…= x_n = 0, так как в установившемся состоянии все отклонения переменных и их производные равны нулю.

Система устойчива, если можно подобрать такую знакоопределенную функцию Ляпунова V (x ₁, x ₂, …, x_n), чтобы ее производная по времени W (x ₁, x ₂,…, x_n) тоже была знакоопределенной (или знакопостоянной), но имела знак противоположный знаку V.

Функция называется знакоопределенной во всех точках области вокруг начала координат, если сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме только самого начала координат. Функция называется знакопостоянной, если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области. Функция называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки.

Примеры: V = x ₁² + x ₂² – знакоопределенная (положительная);
V = (x ₁ + x ₂)² – знакопостоянная; V = x ₁ + x ₂ – знакопеременная.

Если производная W (x ₁, x ₂,…, x_n) от какой-нибудь функции Ляпунова V (x ₁, x ₂,…, x_n) окажется знакоопределенной, причем сама функция V в какой-нибудь области, примыкающей к началу координат, будет иметь знак, одинаковый со знаком производной W, то система неустойчива.

Пример.

Рассмотрим систему, описываемую уравнением Дуффинга

(нелинейные колебания пружины).

Полагая у ₁= у, y ₂ = dy / dt, получаем нелинейную систему уравнений 1-го порядка:

Принимаем функцию V (y ₁, y ₂) = При b > 0 функция V (y ₁, y ₂) является знакоопределенной (положительной). Тогда

При a > 0 функция W (y ₁, y ₂) является знакоопределенной (отрицательной).

Следовательно, при a > 0, b > 0 (сильная пружина) имеем асимптотическую устойчивость: V (y ₁, y ₂) – знакоопределенная положительная, W (y ₁, y ₂) – знакоопределенная отрицательная.

К сожалению, не существует общего метода построения функции Ляпунова для произвольной нелинейной системы. Однако к настоящему времени функции Ляпунова построены практически для всех наиболее важных классов нелинейных систем, встречающихся на практике.

Более того, если построена функция Ляпунова, то через нее удается выразить такие показатели качества переходного процесса как перерегулирование, время переходного процесса и др.

Поиск по сайту: