Графо-аналитический синтез ПИД-регулятора

Алгоритм синтеза ПИД-регулятора включает следующие шаги.

1. Строятся логарифмические частотные характеристики объекта L (w) и j(w) (рис. 3.16), на оси ординат графика L (w) отмечается уровень (–DА), на оси ординат графика j(w) – уровень (j_гр + Dj). Конкретные значения граничного уровня j_гр = –p ± 2p n и знака Dj определяются по виду графика j(w) и желаемой характеристики j_ж(w).

Рис. 3.16. Логарифмические частотные характеристики объекта

2. Вводится понятие частоты запаса w_з желаемого разомкнутого контура согласно условиям:

L _ж(w_з) = –DА, j_ж(w_з) = j_гр+Dj.

Для получения в замкнутой системе максимального быстродействия при сохранении запасов устойчивости эту частоту следует выбирать как можно большей.

С учетом подъема фазы, обусловленного дифференциальной составляющей регулятора на частотах w ³ 10 w_д практически на p/2, нужную частоту ищут в точке пересечения графика j(w) с уровнем j_гр + Dj – p/2, т. е. выбирают w_з из условия

j(w_з) = j_гр + Dj – p/2.

• если частота запаса w_з существует, то принимают w_д» 0,1w_з Þ

Т _д» 10/w_з.

• если фазо-частотная характеристика объекта j(w) не достигает уровня j_гр + Dj – p/2, то дифференциальный канал регулятора не обязателен (Т _д = 0).

4. Строим частотные характеристики с учетом дифференциального канала (рис. 3.17)

последовательного соединения объекта G (p) с форсирующим звеном (1+ Т _д р) и визуально контролируем, чтобы фазовая характеристика j_д(w) не входила в запретную зону (j_гр + Dj; j_гр) левее частоты w_з. Если запас по фазе потерян, то следует интерактивно подбирать параметр w_д (Т _д) в окрестности значения w_д» 0,1w_з (Т _д» 10/w_з) до его восстановления.

.

Рис. 3.17. Логарифмические частотные характеристики объекта с дифференцирующим (форсирующим) звеном

Рис. 3.18. Логарифмические частотные характеристики объекта с форсирующим звеном

6. Теперь оценим значение частоты сопряжения изодромного звена w_и. С одной стороны, при значении частоты равном w_д, отрицательный фазовый сдвиг, вносимый изодромным звеном, должен уже закончиться, чтобы не нарушить запасы устойчивости, обеспечиваемые выбором w_д (или, что то же самое Т _д), и, следовательно, должно быть w_и £ w_д = w_з/10. С другой стороны, чем выше w_и, тем выше общий коэффициент усиления регулятора, а значит и разомкнутой системы в целом, что ведет к повышению точности замкнутой системы с регулятором (w_и увеличивается с ростом К _и). Таким образом, для достижения минимальной ошибки (коэффициента ошибки с_n) частота w_и должна располагаться как можно правее, не превышая, однако, частоты w_д. Отсюда получаем условие выбора постоянной времени интегрального канала:

С учетом подобного выбора можно оценить значение желаемой ЛАХ на частоте запаса

Итак, К _и» КТ _и, кроме того К _п = К _и(Т _и + Т _д), К _д = К _и Т _и Т _д, что позволяет вычислить коэффициенты усиления прямого, интегрального и дифференциального каналов ПИД-регулятора.

Если передаточная функция объекта уже обладает нужным порядком астатизма, то интегральный канал регулятора не обязателен, чему соответствует следующий выбор коэффициентов регулятора: К _п считаем по описанной выше методике для К _и, вычисляем К _д = К _п Т _д (ну а К _и = 0 – интегральный канал отсутствует).

7. В результате выполненных расчетов получены все коэффициенты усиления каналов ПИД-регулятора. На заключительной стадии синтеза необходимо провести тестирование частотных и временных свойств замкнутой системы управления:

Рис. 3.19 – Логарифмические частотные характеристики
желаемой системы

• продолжив низкочастотную асимптоту желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристики L _ж(w) до пересечения с осью L, получим отсчет –20 n × lgc_n, по которому находим оценку коэффициента ошибки c_n. Если оценка не удовлетворяет желаемым требованиям по точности, то можно поднять низкочастотную ветвь амплитудной характеристики путем сдвига вправо частоты сопряжения w_и, что равносильно увеличению коэффициента К _и и уменьшению постоянной времени Т _и при условии постоянства произведения К _и Т _и;

• построив график переходной характеристики замкнутой системы

необходимо убедиться в его устойчивости, сходимости к установившемуся значению h _з¥ = 1, определить время переходного процесса t _пп и перерегулирование s. Полученные показатели переходной характеристики сравниваются с желаемыми значениями и в случае неудовлетворенности разработчика качеством движения интерактивный процесс подбора параметров ПИД-регулятора повторяется.

Пример. Для объекта с передаточной функцией

рассчитать ПИД-регулятор, создающий в замкнутой системе астатизм первого порядка с минимальными значениями коэффициента скоростной ошибки с ₁, времени переходного процесса t _пп и запасами устойчивости по амплитуде D А ³ 6 дБ и фазе Dj ³ p/4.

Следуя изложенному алгоритму, выполняем следующие действия.

1. Строим логарифмические частотные характеристики объекта (рис. 3.20):

а на осях ординат отмечаем уровни запасов по амплитуде –D А и фазе Dj. Судя по интервалу монотонного уменьшения фазовой характеристики с 0 до –3p/2 и с учетом ее будущего подъема регулятором на высоких частотах на p/2, следует выбрать граничный уровень фазы j_гр+Dj = –3p/4.

Рис. 3.20. Логарифмические частотные характеристики объекта (1), с дифференциальным звеном (3), с усилителем (4) и желаемой системы (5)

2. Проводим уровень фазы j_гр + Dj – p/2 = –5p/4 и по условию

w_з: j(w_з) = j_гр + Dj – p/2

определяем частоту запаса желаемого разомкнутого контура w_з = 10 1/с.

3. Выбираем по оценкам w_д» 0,1w_з, Т _д» 10/w_з параметры дифференциального канала регулятора: частоту сопряжения w_д =1 1/с и постоянную времени Т _д =1 с.

4. Строим по формулам

частотные характеристики L _д(w) и j_д(w) последовательного соединения объекта G (p) с форсирующим звеном регулятора
1+ Т _д р = p +1.

5. Определяем отклонение амплитуды L _д(w_з) от уровня запаса –DА: и по формуле вычисляем коэффициент К: D L = 25 дБ Þ К = 17,8.

6. С учетом фазового сдвига от –p/2 до 0, вносимого изодромным звеном в диапазоне частот w £ 10 w_и, из условия с небольшим запасом выбираем параметры интегрального канала регулятора: частоту сопряжения w_и = 0,5 1/с и постоянную времени Т _и = 2 с. Тогда по соотношениям К _и» КТ _и, получаем коэффициенты усиления прямого, интегрального и дифференциального каналов ПИД-регулятора:
К _и = 8,8; К _п = 26,4; К _д = 17,6.

7. В результате проведенных графических расчетов получена передаточная функция ПИД-регулятора:

Построив частотные характеристики желаемой разомкнутой системы

убеждаемся в наличии желаемых запасов устойчивости D А и Dj.

Продолжение низкочастотной части характеристики L _ж(w) отсекает на оси ординат при w = 1 значение –20 lgc ₁» 64 дБ (c ₁ = 1/ К), из чего заключаем, что коэффициент скоростной ошибки составляет c ₁ < 0,001 с.

Сформировав передаточную функцию желаемой разомкнутой системы

G _ж(p) = G (p)∙ R (p),

построим переходную характеристику замкнутой системы (рис. 3.21) и определим ее показатели качества t _пп = 1,05 с и s = 31,1 %.

Рис. 3.21. Переходная характеристика желаемой системы

В современных цифровых системах управления вместо непрерывного ПИД-управления, вырабатываемого аналоговой схемой, реализуется алгоритм вычисления управляющих воздействий x_k = x (t_k) в дискретные отсчеты времени t_k с помощью микропроцессорного контроллера. В первом приближении, т. е. без попыток какой-либо оптимизации численного интегрирования и дифференцирования, закон дискретного управления записывается в следующем виде

Поиск по сайту: