 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Числові характеристики ДВВ
Випадкова величина повністю визначається своїм законом розподілу. Але в деяких випадках корисно знати допоміжні числові характеристики розподілу, крім того, інколи ці характеристики є важливішими за сам розподіл випадкової величини.
Математичне сподівання
Нехай маємо ДВВ Х та її таблицю розподілу
| Х | х1 | х2 | х3 | х | ... | хп |
| р | р1 | р2 | р3 | р4 | ... | рп |
Означення. Математичним сподіваннямдискретної випадкової величини Х називається сума добутків всіх можливих значень випадкової величини та відповідних їх ймовірностей
М(Х)= 
(12)
Математичне сподівання називають центром розсіювання випадкової величини і середнім арифметичним спостережуваних значень випадкової величини.
Задача 2. Азартна гра. Кидають два гральні кубики. Якщо сума очок більша 10, то гравець виграє 10 копійок, інакше програє 1 копійку. Чи є сенс йому грати в цю гру 12000000 партій?
Розв’язання. W=36, тому із 36 можливих результатів випробування лише 3 сприятливих для гравця. А закон розподілу матиме вигляд
| х | -1 | |
| р | 
| 
|
М(Х)= 
.
Отже, програючи в середньому копійки за партію, за 12 000000 партій гравець програє 1 000 000 копійок, або 10 000 грн.
Властивості математичного сподівання:
1. Математичне сподівання сталої величини є сама ця стала: М(С)=С;
2. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання: М(СХ)=СМ(Х);
3. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань: М(Х+У)=М(Х)+М(У);
4. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань: М(Х·У)=М(Х) М(У);
Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
Математичне сподівання дає відповідь на питання: „Яке значення випадкова величина приймає всередньому?”
Неважко показати, що випадкові величини з рівними математичними сподіваннями можуть суттєво відрізнятися по ступені близькості до нього.
Розглянемо випадкові величини Х та У
| Х | У | |||||
| р | 0,5 | 0,5 | р | 0,5 | 0,5 |
Очевидно М(Х)=М(У)=50. Але якщо для випадкової величини Х відхилення від значення 50 незначне, то для випадкової величини У воно суттєве.
Якщо вибір між величинами Х та У – це вибір між двома альтернативними рішеннями, то Х – це більш стабільний передбачуваний результат, а У – це ризик.
Показником такої „непередбачуваності” є ще одна числова характеристика, що називається дисперсією і позначається D(X).
Якщо від випадкової величини відняти її математичне сподівання, то отримаємо нову випадкову величину Х-М(Х). Квадрат останньої також є випадковою величиною (Х-М(Х))2, математичне сподівання якої і є дисперсія випадкової величини Х.
Означення. Дисперсією дискретної випадкової називається математичне сподівання квадрата різниці випадкової величини і її математичного сподівання
D(X)=M(X-M(X))2 (13)
Дисперсію зручно обчислювати за формулою:
D(X)=M(X2)-(M(X))2 (14)
Ця формула випливає безпосередньо з означення після застосування властивостей математичного сподівання.
Обчислимо тепер дисперсії випадкових величин Х та У
Зауваження: математичне сподівання може бути будь-яким числом, а дисперсія завжди додатне число.
Властивості дисперсії
1. D(C)=0, C – стала величина;
2. D(CX)=C2D(X), тобто сталий множник можна винести за знак дисперсії, піднісши його до квадрату;
3. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій D(X+Y)=D(X)+D(Y)
Наслідок: D(X-Y)=D(X)+D(Y).
Випадкові величини, що моделюють будь-які об’єкти реального світу, зазвичай мають розмірність (штуки, кілограми, метри і т.п.) При цьому математичне сподівання має туж розмірність, що й сама величина. А розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності випадкової величини. Для того, щоб уникнути цього вводиться поняття середньоквадратичного відхилення.
Означення. Корінь квадратний з дисперсії називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини і обчислюється за формулою:
(15)
Дисперсія і середнє квадратичне відхилення є мірою розсіяння значень випадкової величини навколо її математичного сподівання.
Задача 3. Дано ряд розподілу дискретної випадкової величини
| х | |||
| р | 0,4 | 0,5 | 0,1 |
Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення.
Розв’язання. Знайдено математичне сподівання за формулою (12): М(Х)=1·0,4+2·0,5+3·0,1=1,7.
Для знаходження математичного сподівання від квадрата можливих значень, потрібно всі можливі значення випадкової величини піднести до квадрата
| Х2 | |||
| р | 0,4 | 0,5 | 0,1 |
М(Х2)= 1·0,4+4·0,5+9·0,1=3,3.
За формулою (14) знаходимо дисперсію D(X)= M(X2)-(M(X))2=3,3-(1,7)2=0,41.
Тоді середнє квадратичне відхилення знаходиться за формулою (15) і дорівнює 
.
Відповідь: 0,41; 0,64.
Поиск по сайту: