Вынужденные электрические колебания

Вынужденные электрические колебания рассмотрим в двух вариантах, когда возбуждается последовательная электрическая цепь, и когда она представляет параллельную электрическую цепь. В первом случае реализуется резонанс напряжения, а во втором случае – резонанс токов.

Конкретно рассмотрим последовательную электрическую цепь, изображенную на рис. 115, которая возбуждается переменным электрическим напряжением и состоит из активного сопротивления R, индуктивности L и емкости С. Сдвиг фаз между током и напряжением влияет на работу и мощность возбуждаемых электромагнитных колебаний в такой последовательной электрической цепи. С учетом этого замечания рассмотрим прохождение электромагнитных волн вдоль последовательной электрической цепи, изображенной на рис. 115.

Результирующее напряжение равно сумме

. (10.28)

Для последовательной цепи величина электрического тока на всех элементах цепи является постоянной величиной и поэтому

. (10.29)

Отсюда с учетом формул (10.4) и (10.6) имеем: . Это было бы так, если не учитывать соотношение фаз между напряжениями различных элементов последовательной электрической цепи. Запишем уравнение (10.28), раскрыв все значения напряжений на каждом отдельном элементе цепи, следующим образом: . (10.30)

Поделим уравнение (10.30) на индуктивность L и запишем его в зарядовом представлении . (10.31)

Это обычное уравнение вынужденных колебаний, которое имеет вид:

. (10.32)

Найдем решение этого уравнения. Если прошло достаточно времени для установления колебаний, то, естественно, предположить, что установившиеся вынужденные колебания будут иметь периодический характер, постоянную амплитуду и частоту вынуждающего внешнего приложенного напряжения ω. Тогда решением уравнения (10.32) будет функция:

. (10.33)

В этом уравнении амплитуда колебаний q₀ и начальная фаза вынужденных колебаний должны быть как-то определены. Для нахождения этих величин возьмем первую и вторую производные от выражения (10.33) по времени

(10.34)

Подставим эти выражения в уравнение (10.32) и в результате получим:

. (10.35)

Поделим на и приведем подобные члены

Введем обозначения:

.

В этих обозначениях получаем:

. (10.36)

Правую часть выражения (10.36) следует рассматривать, как уравнение некоторого гармонического колебания, получившегося в результате сложения двух гармонических колебаний левой части этого равенства. Сложение колебаний осуществим путем применения метода векторных диаграмм.

Проведем ось ОХ и отложим под углами, которые соответствуют начальным фазам всех трех колебаний, векторы и их амплитуд таким образом, чтобы . Результирующая векторная диаграмма такого сложения приведена на рис. 116. Так как , то, подставив вместо и их значения, получим:

. (10.37)

Из равенства (10.37) следует:

. (10.38)

Приведенная на рис. 116 векторная диаграмма позволяет определять начальную фазу, введенную в (10.33), т.е.

. (10.39)

Исходя из первого уравнения (10.34), найдем величину установившегося электрического тока в цепи

(10.40)

или в более компактном виде

, (10.41)

где представляет собой сдвиг фаз между током и напряжением.

Из закона Ома для участка цепи падение напряжения на сопротивлении R составит: . (10.42)

Напряжение на омическом сопротивлении изменяется в фазе с током.

Если второе равенство выражения (10.34) умножить на индуктивность, то получим ЭДС, которое генерируется на индуктивности L:

. (10.43)

Получается, что напряжение на индуктивности опережает ток на .

Если значение заряда, определяемое равенством (10.33), поделить на емкость конденсатора, то получим падение напряжения на емкости, а именно:

, (10.44)

где , а с учетом (10.13) и (10.25) получаем для определения амплитудного значения напряжения на емкости и начальной фазы формулы: и . (10.45)

На основании (10.44) напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на , а по отношению к падению напряжения на индуктивности находится в противофазе. Общие фазовые соотношения для различных падений напряжений приведены на рис. 117. Выражения (10.38) и последующие (10.41)-(10.45) позволяют определять значения амплитуды тока, напряжения и начальной фазы вынужденных колебаний. Из них следует, что амплитуды тока и напряжения, а также начальная фаза зависят от соотношения между частотами ω и ω₀. Колебания тока происходят не в фазе с колебаниями приложенного напряжения. Наибольшего значения электрический ток достигает не в тот момент, когда приложенное напряжение имеет максимальное значение.

Наибольший интерес представляет зависимость амплитуды тока и напряжения вынужденных колебаний от частоты приложенного напряжения и его величины при постоянной частоте собственных колебаний. Рассмотрим это явление подробнее.

Поиск по сайту: