Полный дифференциал функции двух переменных

По определению полного приращения функции имеем:

Предположим, что в рассматриваемой точке имеет непрерывные частные производные. Выразим через частные производные. Для этого в правой части равенства прибавим и вычтем

Выражение, стоящее в первой квадратной скобке равенства можно рассматривать как разность двух значений функции одного переменного (второй аргумент сохраняет одно и то же значение ). Применяя к этой разности теорему Лагранжа, получим:

где заключено между и

Выражение, стоящее во второй квадратной скобке равенства можно рассматривать как разность двух значений функции одного переменного (значение остается постоянным). Применяя к этой разности теорему Лагранжа, получим:

где заключено между и

Внося выражения и в равенство получим:

Так как, по предположению, частные производные непрерывны, то

(так как и заключены, соответственно, между и и

то при и и стремятся, соответственно, к и

Равенства можно переписать в виде:

где величины и стремятся к нулю, когда и стремятся к нулю (т.е. когда ).

В силу равенств соотношение принимает вид:

Сумма двух последних слагаемых правой части является бесконечно малой высшего порядка относительно Действительно, отношение при т.к. является бесконечно малой величиной, а ограниченной Аналогично проверяется, что при

Сумма первых двух слагаемых есть выражение линейное относительно и При и это выражение представляет собой главную часть приращения, отличаясь от на бесконечно малую высшего порядка относительно

Функция полное приращение которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно и и величины бесконечно малой высшего порядка относительно называется дифференцируемой в данной точке, а линейная часть приращения называется полным дифференциалом и обозначается через или

Из равенства следует, что если функция имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она дифференцируема в этой точке и имеет полный дифференциал

Равенство можно переписать в виде:

и с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно можно написать следующее приближенное равенство:

Приращения независимых переменных и мы будем называть дифференциалами независимых переменных и и обозначать, соответственно, через и Тогда выражение полного дифференциала примет вид:

Таким образом, если функция имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в точке и ее полный дифференциал равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных.

Пример. Найти полный дифференциал и полное приращение функции в точке при

Следовательно,

На рисунке дана иллюстрация к этому примеру.

Предыдущие рассуждения и определения соответственным образом обобщаются на функции любого числа аргументов.

Лекция 25.

Поиск по сайту: