Случай действительных корней знаменателя

Теорема 1. Пусть есть действительный корень знаменателя кратности т.е. где тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом:

где - постоянная, не равная нулю, а - многочлен, степень которого ниже степени знаменателя

Доказательство. Напишем тождество:

(справедливое при любом ) и определим постоянную так, чтобы многочлен делился на Для этого по теореме Безу необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

Так как то однозначно определяется равенством: При таком будем иметь:

где есть многочлен, степень которого ниже степени многочлена Сокращая последнюю дробь в формуле (2) на получаем равенство (1).

Следствие. К правильной рациональной дроби входящей в (1), можно применить аналогичные рассуждения. Таким образом, если знаменатель имеет корень кратности то можно написать

где - правильная несократимая дробь. К ней также модно применить теорему 1, если имеет другие действительные корни.

Поиск по сайту: