Дифференциал. Пусть функция дифференцируема на отрезке Производная этой функции в некоторой точке отрезка

Пусть функция дифференцируема на отрезке Производная этой функции в некоторой точке отрезка определяется равенством отсюда где при Умножая все члены последнего равенства на получим:

Так как в общем случае то при постоянном и переменном произведение есть бесконечно малая величина первого порядка малости относительно Произведение же есть всегда величина бесконечно малая высшего порядка малости относительно так как

Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых, из которых первое слагаемое есть (при ) так называемая главная часть приращения, линейная относительно Эту главную часть приращения называют дифференциалом функции в точке соответствующим приращению аргумента Принято обозначать дифференциал функции символом или

Итак,

В случае слагаемое перестает быть главной частью приращения дифференцируемой функции (ибо это слагаемое равно нулю в то время, как слагаемое вообще говоря, отлично от нуля). Однако, договариваются и в случае определять дифференциал функции формулой (2), т.е. считают, что он равен нулю в этом случае.

Пример. Пусть функция есть площадь квадрата, сторона которого равна Если стороне дать приращение то новое ее значение станет и, следовательно, площадь квадрата получит приращение или поэтому На рисунке приращение функции изображается площадью всей заштрихованной части, тогда как дифференциал функции изображается площадью заштрихованной части без площади маленького квадрата, находящегося в правом верхнем углу большого квадрата.

Введем понятие дифференциала независимой переменной. Под дифференциалом независимой переменной понимается дифференциал функции, тождественной с независимой переменной, т.е. функции Поэтому Тогда

откуда

Геометрический смысл дифференциала. Рассмотрим график функции Пусть и - две точки данной кривой. В точке проведем касательную к графику функции и рассмотрим с катетами и но из геометрического смысла производной следует поэтому Т.о. дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в точке с абсциссой когда получает приращение

Если график функции вогнут, то если же график функции выпукл, то

Физическое значение дифференциала. Пусть известен закон движения точки по оси где - расстояние точки от начала отсчета и -время, причем будем предполагать, что точка движется в одном и том же направлении. За бесконечно малый промежуток времени точка переместится в точку пройдя при этом путь Это есть истинное приращение пути. Дифференциал пути согласно формуле (3) равен Но есть скорость движения в момент времени поэтому Таким образом, дифференциал пути равен тому фиктивному приращению пути, которое получится, если предположить, что начиная с данного момента времени, точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

Например, если спидометр автомобиля показывает то шофёр, рассчитывая, что за пробег машины составит фактически вычисляет не приращение пути за (которое вследствие неравномерности движения может быть не равно а дифференциал пути.

Поиск по сайту: