Дифференциал сложной функции нескольких переменных

Предположим, что в уравнении

и являются функциями независимых переменных и

В этом случае есть сложная функция от аргументов и

Конечно, можно выразить и непосредственно через и а именно:

Предположим, что функции имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам и поставим задачу: вычислить и исходя из уравнений и и не пользуясь уравнением

Дадим аргументу приращение сохраняя значение неизменным. Тогда, в силу уравнений и получат приращения и Но если и получают приращения и то и функция получит приращение определяемое формулой:

где и при и

Разделим все члены этого равенства на

Если то и (в силу непрерывности функций и Но тогда и тоже стремятся к нулю. Переходя к пределу при получим:

Если бы мы дали приращение переменному а оставили неизменным, то с помощью аналогичных рассуждений нашли бы:

Для случая большего числа переменных формулы и естественным образом обобщаются. Например, если есть функция четырех аргументов а каждый из них зависит от и то формулы и принимают вид:

Если задана функция где в свою очередь зависят от одного аргумента то, по сути дела, является функцией только одного переменного и можно ставить вопрос о нахождении производной Эта производная вычисляется по первой из формул

но так как функции только одного аргумента то частные производные обращабтся в обыкновенные, кроме того, поэтому

Эта формула носит название формулы для вычисления полной производной (в отличие от частной производной ).

Найдем далее полный дифференциал сложной функции, определенной равенствами и Подставим выражения и определенные равенствами и в формулу полного дифференциала:

Получаем:

Произведем следующие преобразования в правой части:

Но

Равенство с учетом равенств можно переписать так:

Сравнивая и можем сказать, что выражение полного дифференциала функции нескольких переменных (дифференциала первого порядка) имеет тот же вид, т.е. форма дифференциала первого порядка инвариантна, являются ли и независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Поиск по сайту: