Разложение многочлена на множители

Функция

где - целое положительное число, называется многочленом (полиномом) или целой рациональной функцией от число называется степенью многочлена. Коэффициенты - действительные или комплексные числа; независимая переменная также может принимать как действительные, так и комплексные значения. Корнем многочлена называется такое значение переменного при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема 1 (теорема Безу). При делении многочлена на разность получается остаток, равный

Доказательство. Наш многочлен по степеням с помощью формулы Тейлора представим в виде многочлена по степеням

где - многочлен степени Полученное соотношение доказывает теорему.

Следствие. Если есть корень многочлена, т.е. то делится без остатка на и, следовательно, представляется в виде произведения где - многочлен степени

Теорема 2 (основная теорема алгебры). Всякая целая рациональная функция имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Примем без доказательства (доказывается в высшей алгебре).

Теорема 3. Всякий многочлен ой степени разлагается на линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при

Доказательство. Пусть

Этот многочлен в силу основной теоремы алгебры имеет по крайней мере один корень; обозначим его через Тогда на основании следствия из теоремы Безу мы можем написать:

где - многочлен ой степени; также имеет корень. Обозначим его через Тогда

где многочлен ой степени. Аналогично

Продолжая этот процесс выделения линейных множителей, дойдем до соотношения

где многочлен нулевой степени, т.е. некоторое фиксированное число. Это число, очевидно, равно коэффициенту при т.е.

На основании полученных равенств можем написать

Из разложения (2) следует, что числа есть корни многочлена т.к. при подстановке правая часть, а следовательно, и левая, обращается в нуль.

Никакое значение отличное от не может быть корнем многочлена т.к. ни один из множителей в правой части равенства (1) не обращается в нуль при Отсюда следует, что многочлен ой степени не может иметь более чем различных корней.

Теорема 4. Если значения двух многочленов ой степени и совпадают при различных значениях аргумента то эти многочлены тождественны.

Доказательство. Обозначим По условию есть многочлен степени не выше обращающийся в нуль в точках Следовательно, его можно представить в виде

Но, по условию, обращается в нуль также в точке Тогда и при этом ни один из линейных множителей не равен нулю, откуда следует, что а значит Следовательно, или

Теорема 5. Если многочлен

тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.

Доказательство.

Запишем разложение этого многочлена по формуле (1):

Если этот многочлен тождественно равен нулю, то он равен нулю и при некотором значении отличном от Но тогда ни одна из скобок не равна нулю и, следовательно, Аналогично доказывается, что и т.д.

Теорема 6. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Это следует из того, что разность данных многочленов есть многочлен, тождественно равный нулю. Следовательно, на основании предыдущей теоремы все его коэффициенты – нули.

Пример.

Поиск по сайту: