Тригонометрических функций

Интеграл вида

Этот интеграл с помощью подстановки

всегда сводится к интегралу от рациональной функции.

Далее,

Таким образом, и выразились рационально через Подставляя полученные выражения в получим интеграл от рациональной функции.

Пример.

Рассмотренная подстановка дает возможность проинтегрировать всякую функцию вида Поэтому ее называют универсальной тригономнтрической подстановкой Однако, на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям. Поэтому наряду с универсальной подстановкой бывает полезно знать также другие подстановки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.

1) Если интеграл имеет вид то подстановка приводит этот интеграл к виду

2) Если интеграл имеет вид то подстановка приводит его к виду

3) Если интеграл имеет вид то подстановка приводит его к виду

4) Если интеграл имеет вид но и входят только в четных степенях, то применяется подстановка т.к. и выражаются рационально через После подстановки получим интеграл от рациональной функции.

5) Пусть интеграл имеет вид где и целые числа. Рассмотрим три случая.

и таковы, что по крайней мере одно из них нечетное число. Допустим для определенности, что нечетное. Положим

Сделаем замену

и числа неотрицательные и четные.

Положим

,

Возводя в степень и раскрывая скобки, получим члены, содержащие в нечетных и четных степенях. Члены с нечетными степенями интегрируются, как указано в случае Четные показатели степеней снова понижаем по формулам Продолжая так, дойдем до членов вида которые легко интегрируются.

и числа четные, причем хотя бы одно из них отрицательно.

В этом случае предыдущий прием не проходит и приходится поступать как в пункте 4), т.е. делать подстановку или

6) Рассмотрим интегралы вида:

Они берутся при помощи следующих формул

Подставляя и интегрируя, получим

Аналогично вычисляются и два других интеграла.

Интеграл вида

(тригонометрические подстановки)

Предполагается, что и

Покажем метод преобразования этого интеграла к интегралу вида

который был рассмотрен нами.

Сделаем замену:

Тогда

Рассмотрим все возможные случаи.

1. Пусть Введем обозначения

2. Пусть Тогда

3. Пусть Тогда

4. Пусть В этом случае есть комплексное число при любом значении

Таким образом, интеграл (1) преобразуется к одному из следующих типов.

Интеграл I типа приводится к интегралу вида (2) с помощью подстановки

Для интеграла II типа нужно применить подстановку

А в интеграле III типа следует сделать подстановку

Пример. Это интеграл III типа. Делаем подстановку

Поиск по сайту: