На множители в случае комплексных корней

Раньше мы видели, что в результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел получается снова комплексное число.

Вернувшись к определениям суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел, легко проверить, что если в этих выражениях заменить каждое комплексное число сопряженным, то и результаты указанных действий заменяются сопряженными числами (проверить самим ).

Отсюда вытекает следующая теорема 7:

Если в многочлен с действительными коэффициентами

подставить вместо число а затем сопряженное число то и результаты этих подстановок будут взаимно сопряженными.

Теорема 8. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень то он имеет и сопряженный корень

Доказательство.

где и выражения, не содержащие

Так как корень многочлена, то

откуда

(на основании теоремы 7).

Так как то т.е. корень многочлена.

Итак, в разложении (1) комплексные корни входят попарно сопряженными.

Перемножив линейные множители, соответствующие паре комплексно сопряженных корней, получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами:

где действительные числа.

Если число является корнем кратности то сопряженное число должно являться корнем той же кратности так что наряду с линейными множителями в разложение многочлена входят столько же линейных множителей вида

Таким образом, многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители с действительными коэффициентами первой и второй степени соответствующей кратности,т.е.

При этом

Лекция 11.

Поиск по сайту: