Радикальный признак Коши

Теорема. Если для ряда с положительными членами

величина имеет конечный предел при т.е. то:

1) в случае ряд сходится,

2) в случае ряд расходится.

(В случае ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.)

Доказательство. 1) Пусть Рассмотрим число Начиная с некоторого номера будет иметь место соотношение или для всех

Рассмотрим теперь два ряда:

Ряд сходится, т.к. его члены образуют убывающую геометрическую прогрессию. Члены ряда начиная с меньше членов ряда

Следовательно, ряд сходится.

2) Пусть Тогда, начиная с некоторого номера будем иметь: или

Но если все члены рассматриваемого ряда, начиная с больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

Пример.

Ряд сходится.

Поиск по сайту: