АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теорема о необходимом условии экстремума функции

Читайте также:
  1. II. Основные задачи и функции
  2. III. Предмет, метод и функции философии.
  3. IV. Конструкция бент-функции
  4. Ms Excel: мастер функций. Логические функции.
  5. S-M-N-теорема, приклади її використання
  6. V2: ДЕ 29 - Введение в анализ. Предел функции на бесконечности
  7. V2: ДЕ 32 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная
  8. V2: ДЕ 35 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производные высший порядков
  9. V2: ДЕ 39 - Интегральное исчисление функции одной переменной. Приложения определенного интеграла
  10. V2: Функции исторической науки
  11. VIII. ФУНКЦИИ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
  12. XVIII. ПРОЦЕДУРЫ И ФУНКЦИИ

В точке экстремума дифференцируемой функции производная этой функции равна нулю.

Доказательство. Пусть для определенности есть точка минимума функции Следовательно, если достаточно мало по абсолютной величине. Отсюда

если ,

если

Переходя в этих неравенствах к пределу при получим

если

если

Так как значение производной не должно зависеть от способа стремления к нулю, то отсюда следует , что Теорема доказана. Аналогичным образом теорема доказывается и для случая максимума функции (доказать самим).

Геометрически условие обозначает, что в точке

касательная к графику функции параллельна оси

Следствие из теоремы.

Если при всех рассматриваемых значениях аргумента функция имеет производную, то она может иметь экстремум только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль.

Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором производная обращается в нуль, обязательно существует экстремум. Например, функция при имеет производную, равную нулю: но в этой точке функция не имеет экстремума

Мы исследовали случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Покажем сейчас на примерах, что в точках, где производная не существует, может быть или максимум, или минимум, но может и не быть ни того, ни другого.

Пример 1. Функция не имеет производной в точке но в этой точке данная функция имеет минимум: тогда как для всякой точки отличной от нуля, имеем

Пример 2. Функция не имеет производной при В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума:

Таким образом функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю; либо в тех точках, где производная не существует.

Те значения аргумента которые для данной функции обращают в нуль ее производную или для которых производная не существует, называются критическими значениями аргумента или критическими точками первого рода.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)