Теорема о необходимом условии экстремума функции

В точке экстремума дифференцируемой функции производная этой функции равна нулю.

Доказательство. Пусть для определенности есть точка минимума функции Следовательно, если достаточно мало по абсолютной величине. Отсюда

если ,

если

Переходя в этих неравенствах к пределу при получим

если

если

Так как значение производной не должно зависеть от способа стремления к нулю, то отсюда следует, что Теорема доказана. Аналогичным образом теорема доказывается и для случая максимума функции (доказать самим).

Геометрически условие обозначает, что в точке

касательная к графику функции параллельна оси

Следствие из теоремы.

Если при всех рассматриваемых значениях аргумента функция имеет производную, то она может иметь экстремум только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль.

Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором производная обращается в нуль, обязательно существует экстремум. Например, функция при имеет производную, равную нулю: но в этой точке функция не имеет экстремума

Мы исследовали случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Покажем сейчас на примерах, что в точках, где производная не существует, может быть или максимум, или минимум, но может и не быть ни того, ни другого.

Пример 1. Функция не имеет производной в точке но в этой точке данная функция имеет минимум: тогда как для всякой точки отличной от нуля, имеем

Пример 2. Функция не имеет производной при В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума:

Таким образом функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю; либо в тех точках, где производная не существует.

Те значения аргумента которые для данной функции обращают в нуль ее производную или для которых производная не существует, называются критическими значениями аргумента или критическими точками первого рода.

Поиск по сайту: