Теорема 1 о достаточных условиях существования экстремума

Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку первого рода и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при функция имеет максимум. Если же при переходе через точку слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

то в точке функция имеет максимум;

если

то в точке функция имеет минимум.

При этом надо иметь ввиду, что условия должны выполняться для всех значений достаточно близких к т.е. во всех точках некоторой достаточно малой окрестности критической точки

Доказательство. Предположим сначала, что производная меняет знак с плюса на минус, т.е. выполняются условия Применяя теорему Лагранжа к разности получим

где ξ есть точка, лежащая между

1) Пусть тогда и, следовательно,

2) Пусть тогда и, следовательно,

(1) и (2) показывают, что для всех значений достаточно близких к значения функции меньше, чем значения функции в точке Следовательно, в точке функция имеет максимум.

Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы о достаточных условиях минимума.

Проиллюстрируем смысл теоремы 1 на рисунке. В точке и для достаточно близких к выполняется условие значит в точке - максимум. В точке и для достаточно близких к выполняется условие значит в точке - минимум. В точке и для всех значений достаточно близких к выполняются неравенства

Значит функция возрастает как при так и при Следовательно, при функция не имеет ни максимума, ни минимума.

Поиск по сайту: