ТМО навчання учнів розв'язувати типові складені задачі на знаходження четвертого пропорційного

6. Аналіз методичної літератури та наявних підручників з математики для початкових класів дає підстави для висновку про те, що в процесі вивчення курсу математики І-ІУ класів учні повинні навчитися розв'язувати такі групи типових складених задач:

1) на знаходження четвертого пропорційного, серед яких виділяють ще три види задач: а) на знаходження четвертого пропорційного, які розв’язуються способом прямого зведення до одиниці (наприклад: “Для вироблення 2 кг масла витратили 50 л молока. Скільки літрів молока потрібно, щоб виробити 5 кг масла?); б) на знаходження четвертого пропорційного, які розв’язуються способом оберненого зведення до одиниці (наприклад: “За 2 години роботи трактор витратив 14 л пального. На скільки годин роботи вистачить йому 56 л пального?”); в) на знаходження четвертого пропорційного, які розв’язуються способом відношень (наприклад: “Із 3 кг сирої кави виходить 2 кг смаженої. Скільки смаженої кави вийде з 12 кг сирої кави?”);

2) задачі на пропорційний поділ, в яких потрібно одну з величин поділити на частини пропорційно двом іншим величинам (наприклад: “На базу завезли 2 вагони бурого вугілля і 4 вагони антрациту, в кожному вагоні порівну. Всього завезли 96 тон вугілля. Скільки бурого вугілля і скільки антрациту завезли на базу?”);

3) задачі на знаходження невідомого за двома різницями (наприклад: “До млина привезли 58 мішків пшениці і 38 мішків жита. Пшениці привезли на 16 центнерів більше, ніж жита. Скільки окремо кілограмів жита і пшениці завезено, якщо всі мішки із зерном мали однакову масу?”;

4) задачі на знаходження середнього арифметичного (наприклад: “З 20 гектарів зібрали по 13 тон картоплі з гектара, а з 5 гектарів - по 18 тон з гектара. Знайди середню врожайність картоплі на цих двох ділянках.”);

5) задачі на знаходження четвертого пропорційного, які називаються ускладненими і які розв’язуються способом послідовного (або подвійного) зведення до одиниці (інколи їх називають задачами на складне правило трьох. Наприклад: Трьома косарками за 7 годин скосили 42 га трави. Скільки гектарів трави скосять дві косарки за 4 год.?). Пропонуємо студентам виконати завдання № 8 для самостійної роботи.

ТМО роботи над будь-якою складеною задачею передбачають підготовчу роботу до введення задачі нового типу, ознайомлення з нею та формування умінь її розв’язувати. З іншого боку формування умінь розв'язувати будь-яку задачу проходить наступні етапи: 1) ознайомлення з умовою задачі; 2) проведення аналізу задачі; 3) складання плану розв’язання задачі; 4) оформлення розв’язання задачі; 5) робота над розв’язаною задачею. Таким чином, можна твердити, що робота над типовими складеними задачами немає принципових відмінностей від навчання школярів розв'язувати будь-які складені задачі.

Відповідно до ТМО навчання учнів розв'язувати задачі перед введенням кожного нового виду задач слід провести підготовчу роботу. Вона проводиться до ознайомлення дітей із цими задачами і полягає в тому, що у дітей формуються уявлення про ці величини. Крім цього, вивчаються взаємозв’язки між ними, діти вчаться знаходити одну із величин за двома відомими. Безпосередньо на уроці, де діти ознайомлюються із новим видом типових задач, щоб зменшити труднощі учнів, треба повторити відомості про ту групу величин, яка розглядається у конкретній задачі, повторити одиниці її вимірювання та розв’язати кілька усних вправ на знаходження значення однієї величини за двома відомими іншими.

Яка ж підготовча робота проводиться перед введенням першої складеної задачі на знаходження четвертого пропорційного всіх названих вище видів? – 1) формування уявлень про всі види величин, що розглядаються в курсі математики початкових класів; 2) повторення відомостей про величини, які будуть зустрічатися в таких задачах; 3) розв’язування простих задач з величинами, які будуть там зустрічатися (розв’язуючи такі задачі, потрібно весь час вимагати від учнів відповідей на такі запитання: які величини відомі?, які необхідно знайти?, наприклад, для задачі “За 6 однакових блокнотів заплатили 48 гривень. Скільки коштує один блокнот?” роботу слід провести так: про які величини йдеться в задачі? – в задачі мова йде про ціну, кількість і вартість (відповіді повинні бути повними, особливо у тих дітей, які мають слабо розвинене мовлення); Які з цих величин відомі в задачі? - кількість і вартість; Яку величину слід знайти, щоб дати відповідь на запитання задачі? – ціну). Зазначимо, що перед введенням кожного виду задач на знаходження четвертого пропорційного підготовча робота матиме свою специфіку.

Відносно ознайомлення дітей із першою типовою задачею на знаходження четвертого пропорційного, яка розв’язується способом прямого зведення до одиниці, існує дві думки методистів. Одна група методистів пропонує ознайомлювати дітей з такими задачами, ввівши їх у готовому вигляді, а інша - пропонує скласти її з двох простих разом з дітьми. Проведені дослідження свідчать, що перший варіант необхідно використовувати тоді, коли рівень математичної підготовки класу не високий, а діти недостатньо володіють уміннями складати задачі. Використання другого способу сприяє розвиткові учнів, оскільки відмінність обох способів з точки зору діяльності вчителя полягає лише у роботі зі складання нової задачі.

Враховуючи останнє, розглянемо другий спосіб на конкретному прикладі. Пропонуємо учням самостійно розв’язати спочатку першу задачу “Хлопчик купив 6 блокнотів і заплатив за них 36 грн. Яка ціна блокнота?”, а потім другу - “Ціна одного блокнота 6 грн. Хлопчик купив 8 блокнотів. Яка вартість покупки?”. Після того, як діти розв’яжуть обидві ці задачі пропонуємо їм скласти із них складену задачу, використовуючи дані обох задач. Якщо діти не зможуть скласти такої задачі "Хлопчик за 6 блокнотів заплатив 36 грн. Скільки грошей він повинен заплатити за 8 таких самих блокнотів?", то вчитель пропонує їм допомогу: використовуючи дані обох задач, складіть складену задачу з таким запитанням “Скільки грошей потрібно заплатити за 8 таких самих блокнотів?”. Склавши нову задачу, вчитель зобов’язаний перевірити як діти засвоїли її зміст.

Тепер приступаємо до аналізу задачі, який необхідно для цього типу задач провести синтетичним способом, тобто від умови до запитання задачі. Аналіз проводиться у вигляді бесіди, коли діти відповідають на запитання вчителя: скільки грошей витратив хлопчик першого разу? – 36 гривень. Скільки блокнотів він купив першого разу? – 6 блокнотів. Що можна визначити за цими даними? - яка ціна одного блокнота. Що можна визначити, знаючи ціну блокнота і знаючи, що другого разу хлопчик купив 8 блокнотів? - скільки грошей заплатив хлопчик за 8 блокнотів (вчитель повинен вимагати від учнів повної відповіді на поставлені запитання, хоча ми з метою економії місця не завжди даємо такі відповіді).

Для того, щоб скласти план розв’язання задачі, пропонуємо школярам відповісти на наступні запитання: що будемо визначати у першій дії? - ціну блокнота. Як це будемо робити? – слід кількість грошей, заплачених за 6 блокнотів, поділити на кількість блокнотів. Що будемо робити у другій дії? – визначати скільки грошей необхідно заплатити за 8 блокнотів. Як це будемо робити? – ціну блокнота, яку ми визначили у першій дії, помножимо на кількість блокнотів, куплених другого разу. З метою особистісної орієнтації навчального процесу сильним учням необхідно запропонувати розв’язання задачі виконати самостійно, а решта школярів у цей час працюватиме під керівництвом вчителя. Крім цього, слід запропонувати сильним учням записати розв’язання задачі двома способами, які представлені у таблиці № 11.25. Після ознайомлення учнів з задачами на знаходження четвертого пропорційного, які розв'язуються способом прямого зведення до одиниці, розпочинається робота з формування у дітей уміння розв’язувати задачі цього типу. З цією метою розглядаються задачі з іншими групами величин, а також інші види задач на знаходження четвертого пропорційного (Які саме?). Пропонуємо студентам виконати завдання № 9 для самостійної роботи.

Таблиця № 11.25.

Через 10-12 уроків вводяться задачі на знаходження четвертого пропорційного, які розв’язуються способом оберненого зведення до одиниці. Такий розрив в часі зроблено для того, щоб усунути зайві труднощі дітям у формуванні уміння розв'язувати задачі на знаходження четвертого пропорційного. Ознайомити школярів з першою такою задачею можна або в готовому вигляді, або скласти з учнями задачу цього виду із двох простих. Перший варіант використовується тоді, коли учні класу не володіють в достатній мірі умінням складати задачу на дві дії з двох простих. Проведені дослідження дають підстави для висновку про те, що сильним учням слід запропонувати самостійно скласти і розв’язати задачу. Ми зазначали, що проводити аналіз задачі можна будь-яким з двох способів. Але для задач на знаходження четвертого пропорційного, які розв'язуються способом оберненого зведення до одиниці, доцільніше використовувати аналітичний спосіб, тобто аналіз задачі проводиться від запитання до умови. Покажемо це на прикладі такої задачі “За 30 копійок купили 5 цукерок. Скільки таких самих цукерок можна купити за 18 копійок?”.

Вчитель ставить перед школярами запитання, вимагаючи повної відповіді на них: що необхідно знати, щоб дати відповідь на запитання задачі? – кількість наявних копійок і ціну цукерки (якщо діти відповідатимуть, що треба знати ціну цукерки, а це неправильно, то слід запропонувати їм розв’язати таку просту задачу: "Ціна цукерки 6 копійок. Скільки купили цукерок?"). Що із цих даних нам невідомо? - ціна цукерки. Що треба знати, щоб визначити ціну цукерки? - скільки всього грошей витратили і скільки купили цукерок. Чи відомі нам ці дані для першої покупки? – так. Що будемо визначати у першій дії? - яка ціна цукерки. Як це будемо робити? - кількість грошей поділимо на кількість цукерок. Що будемо визначати в другій дії? – кількість цукерок, які можна купити на 18 копійок. Як це будемо робити? – кількість копійок, які витратили другого разу, поділимо на ціну. Провівши таку роботу, пропонуємо записати розв’язання задачі, причому ті школярі, які не в змозі зробити цього самостійно працюють під керівництвом вчителя, а сильним учням пропонуємо спочатку записати розв’язання по діях, а потім – виразом. Обидва способи розв’язання представлені у таблиці № 11.26. Тепер приступаємо до формування вмінь розв’язувати задачі даного типу, включаючи поступово задачі з іншими групами величин. Пропонуємо студентам виконати завдання № 10 для самостійної роботи.

Таблиця № 11.26.

У підручнику для 4 класу М.В.Богдановича зустрічаються задачі на знаходження четвертого пропорційного, які розв’язуються способом відношень. Підготовчою роботою до ознайомлення із такими задачами є, крім розв’язання простих задач з різними величинами, ще і розв’язування простих задач на кратне порівняння, тобто таких задач, запитання яких містить словосполучення "У скільки разів більше …?, "У скільки разів менше…?". Наприклад: “Хлопчик купив 6 цукерок, а дівчинка 12. У скільки разів більше цукерок купила дівчинка?”. Ознайомлення із задачею на знаходження четвертого пропорційного, яка розв’язується способом відношень, відбувається на прикладі готової задачі: "З кожних двох однакових дошок виготовили 3 шпаківні. Скільки шпаківень можна виготовити із 12 таких самих дошок?". Першою задачею такого виду повинна бути така, яку не можна розв’язати попереднім способом.

Після того, як діти вивчили умову задачі, а вчитель перевірив, як вони засвоїли її зміст, приступаємо до аналізу задачі, який слід проводити синтетичним способом (від умови до запитання). Скільки дошок використали першого разу? – 2. Скільки дошок використали другого разу? – 12. Що можна визначити за цими даними? – у скільки разів 12 дошок більше, ніж 2. (якщо діти дадуть неправильну для наступного розв'язування задачі відповідь, наприклад, у скільки разів менше використали дошок першого разу, то треба запитати: а що ще можна визначити за цими даними?). Що можна визначити, знаючи, що першого разу виготовили 3 шпаківні і знаючи у скільки разів більше використали дошок другого разу? - скільки шпаківень виготовили із 12 дошок. Складаємо план розв’язання задачі: що будемо визначати у першій дії - у скільки разів більше використали дошок другого разу. Як це будемо робити? - кількість дошок, використаних другого разу поділимо на кількість дошок, використаних першого разу. Що будемо визначати в другій дії? - скільки шпаківень виготовили з 12 дошок. Як це будемо робити? – кількість шпаківень, виготовлених першого разу, помножимо на 3. Після проведеної роботи пропонуємо записати розв’язання задачі відповідно до індивідуальних можливостей дітей: по діях чи виразом. Далі розпочинається робота з формування уміння розв’язувати задачі цього типу.

ТМО навчання учнів розв'язувати типові складені задачі на пропорційний поділ, на знаходження невідомого за двома різницями, на знаходження середнього арифметичного, на складне правило трьох.

7. Ми вже зазначали, що підготовча робота до ознайомлення учнів з кожним новим видом задач має свою специфіку. Саме тому аналіз методичної літератури, наявних підручників з математики для початкових класів дозволяє стверджувати, що підготовча робота до введення першої складеної задачі на пропорційний поділ полягає в наступному:

1) виконання завдань, в яких подано дві різні групи однакових предметів, що розміщені порівну у кожній з наявних там коробок, ящиків, ваз тощо, наприклад: подано дві різні за кількістю групи ваз, але у кожній вазі міститься однакова кількість квіток, зате в одній групі 5 ваз, а в іншій – 3 вази. Крім цього, відомо, що всього у вазах є 72 квітки. Слід визначити скільки квіток є у кожній вазі (запропонувавши учням розглянути малюнок, вчитель запитує: скільки ваз зліва? – 5. Скільки ваз справа? – 3. Скільки всього ваз? – 8. Скільки всього квітів у всіх вазах? – 72. Як визначити, скільки квіток у кожній вазі? – 72:8.);

2) розв'язування задач виду “Купили два сувої однакової тканини. У першому сувої було 3 м тканини, а в другому – 6 м. за обидва сувої заплатили 144 гривні. Яка ціна 1 м тканини?”;

3) розв'язування задач виду: “Наталка купила 3 кг яблук собі та 2 кг – бабусі. За всю покупку вона заплатила 10 гривень. Скільки коштує 1 кг яблук? Скільки грошей має віддати бабуся Наталці?”;

4) Ціна 1 м тканини 9 гривень. Скільки коштують 2 куска тканини, перший з яких має 5 м, а другий – 7 м?;

5) За 5 м тканини заплатили 75 гривень. Скільки коштують два сувої тканини, перший з яких має 5 м, а другий – 7 м?.

Як же провести ознайомлення школярів із задачами на пропорційний поділ? – аналіз методичної літератури, спостереження за роботою вчителів-новаторів свідчать, що першу задачу на пропорційний поділ краще ввести в готовому вигляді, хоча, враховуючи рівень математичної підготовки класу можна запропонувати скласти задачу на пропорційний поділ із двох задач.

Сутність ТМО ознайомлення учнів з першою задачею такого виду покажемо на прикладі наступної задачі “У першому сувої 5 м тканини, а в другому – 7 м такої самої тканини. Скільки коштує кожний сувій, якщо за обидва заплатили 288 грн?” (задачі такого виду називають задачами на пропорційний поділ, бо у наведеній вище задачі слід одну величину 288 грн – вартість покупки – поділити пропорційно до двох інших величин 5 м і 7 м – кількість тканини). Відповідно до індивідуальних особливостей дітей, з метою особистісної орієнтації навчального процесу задачу може прочитати вчитель або учні. Для тих учнів, яким важко засвоїти зміст задачі, слід запропонувати короткий запис умови задачі. Його можливі варіанти представлені у таблицях №№ 11.27. і 11.28. При вивченні (як це можна зробити?) умови задачі особливу увагу школярів слід звернути на з'ясування наступного: 1) якщо тканини така сама, то її ціна однакова; 2) чим більша кількість тканини в куску, тим він дорожчий.

Таблиця № 11.27.

Таблиця № 11.28.

5 м і 7 м 288 грн

Ціна однакова

Скільки коштує кожен сувій?

Як же провести аналіз задачі на пропорційний поділ? – аналітичним способом, тобто від запитання до умови. Отже, пропонуємо учням відповісти на наступні запитання: що необхідно знати, щоб визначити окрему вартість кожного сувою? – ціну тканини та її кількість. Що із цих даних нам невідомо? – ціну тканини. Які дані слід знати, щоб визначити ціну? – вартість і кількість. Чи відомо нам загальну вартість обох сувоїв? – так, вона складає 288 грн. Що ще необхідно знати для того, щоб визначити ціну? – загальну кількість тканини. Що для цього слід знати? – скільки тканини було в кожному сувої. Чи відомі нам ці дані? – так, 5 м і 7 м.

Після цього приступаємо до складання плану розв'язування задачі: що будемо визначати у першій дії? – загальну кількість тканини. Як це можна зробити? – до кількості тканини у першому сувої додати кількість тканини у другому сувої. Що будемо визначати у другій дії? – ціну тканини. Що для цього слід зробити? – загальну вартість тканини поділити на загальну її кількість. Що будемо робити у третій дії? – визначати вартість першого сувою. Як це будемо робити? – ціну тканини помножимо на кількість тканини у першому сувої. Що будемо робити у четвертій дії? – визначати вартість другого сувою. Як це будемо робити? – ціну тканини помножимо на кількість тканини у другому сувої або від загальної вартості обох сувоїв віднімемо вартість першого сувою. Зазначимо, що з метою особистісної орієнтації навчального процесу окремим учням слід пропонувати знайти різні способи розв’язання задачі та записувати розв’язання задачі не лише по діях, але й за допомогою складання рівняння (сутність такої роботи вчителя буде висвітлюватися пізніше, а обидва способи запису розв’язання задачі представлені у таблиці № 11.29.). Для того, щоб усвідомити систему роботи з формування умінь учнів розв'язувати задачі цього виду, пропонуємо студентам виконати завдання № 11 для самостійної роботи.

Таблиця № 11.29.

Наступним видом складених типових задач, з якими слід ознайомити учнів, є задачі на знаходження невідомого за двома різницями. Ці задачі одержали таку назву, бо в умові йдеться про дві різниці, одна з яких задана явно, а інша – неявно, але її можна знайти. Прикладом такої задачі може бути наступна “Перший покупець купив 4 м тканин, а другий – 9 м такої самої тканини. Другий покупець заплатив на 90 гривень більше, ніж перший. Скільки грошей заплатив за покупку кожен покупець?”.

Підготовча робота до ознайомлення школярів із задачами цього типу має на меті допомогу учням в усвідомленні найбільш важкого зв'язку: відповідності між двома різницями. Вона включає в себе виконання наступних завдань: 1) Хлопчик купив 3 аркуші паперу, а дівчинка 5 таких самих аркушів паперу. Хто із дітей придбав більше аркушів паперу?; 2) Перший магазин продав 3 мішки борошна, а другий 5 таких самих мішків борошна. Який магазин продав більше кілограмів борошна? Чому?; 3) Перший магазин продав на 3 мішки борошна більше, ніж другий. З’ясувалося, що перший магазин продав на 150 кг борошна більше, ніж другий. Скільки кілограмів борошна в одному мішку? (для учнів, яким важко усвідомити цю задачу, слід використати графічну ілюстрацію, представлену на малюнку № 11.4.); 4) розв'язування задач на різницеве порівняння.

І магазин - І--------------------------------------------------------------І---І---І---І 150 кг ІІ магазин- І-------------------------------------------------------------І

Поиск по сайту: