ТМО вивчення з молодшими школярами числових виразів і виразів, що містять змінну

2. У курсі математики зазначалося, що поняття виразу вводиться з допомогою індуктивного означення, яке в силу вікових особливостей недоступне молодшим школярам. Саме тому в курсі математики початкової школи дітям не повідомляється означення виразу, а це поняття вводиться лише на індуктивній основі. Так, діти повинні розпізнавати математичні вирази серед інших математичних об’єктів, відрізняти їх від рівностей, нерівностей і рівнянь. У початкових класах вирази, так само як і в курсі алгебри, поділяються на дві групи: 1) найпростіші, до яких відносять будь-яке окремо взяте число або суму, різницю, добуток і частку (наприклад: 2, 456, 4+3, 10-7, 12·7, 72:6); 2) складені математичні вирази, які отримуються із найпростіших з допомогою їх комбінацій або використання дужок (наприклад: 12·7+94, (36:9-72:24)+123 тощо).

Що ж необхідно знати вчителеві, щоб успішно проводити роботу з формування у молодших школярів уявлень про числові вирази та вирази із змінними? – знати мету та завдання вивчення цього матеріалу та володіти ТМО викладання алгебраїчної частини курсу математики початкових класів. Враховуючи прийняте у курсі математики початкових класах трактування поняття виразу, на основі аналізу методичної літератури, існуючих підручників з математики для І-ІУ класів та вимог навчальної програми з математики і державного освітнього стандарту можна твердити, що основними завданнями щодо формування уявлень молодших школярів про математичні вирази слід вважати наступні:

- навчити учнів розпізнавати і виділяти математичні вирази серед інших математичних об’єктів;

- навчити читати, складати і записувати математичні вирази та обчислювати їхні числові значення;

- ознайомити з правилами порядку виконання дій при обчисленні числових значень виразів та навчити користуватися цими правилами;

- навчити учнів порівнювати число і вираз, два вирази;

- розпочати формування уявлень дітей про тотожні перетворення математичних виразів.

ТМО роботи над будь-яким питанням методики викладання передбачається проходження трьох етапів: підготовчого, на якому актуалізуються опорні знання, уміння й навички; етапу ознайомлення з новим поняттям; етапом, на якому відбувається формування уявлень про нове поняття. Реалізація названих етапах, дотримання принципів наступності та перспективності при вивченні будь-якого питання значною мірою обумовлюється знаннями вчителя про систему розміщення відповідного матеріалу в курсі математики початкових класів. Аналіз наявних підручників з математики для І-ІУ класів, методичних посібників для вчителів дозволяють зробити такі висновки: 1) розміщення алгебраїчного матеріалу в курсі математики має свою логіку; 2) всі математичні вирази початкового курсу математики зручно поділяти на дві групи. До першої з них відносять найпростіші математичні вирази: числа (7, 289, 56 тощо), суму (6+9), різницю (93-47), добуток (52·4), частку (64:8), а до другої – складені математичні вирази, які утворюються із найпростіших за допомогою їх сполучення та можливо з використанням дужок, наприклад: (73+27)·56. Враховуючи сказане, зазначимо, що вчитель повинен розпочинати свою роботу з формування уявлень учнів про найпростіші математичні вирази, плавно переходячи до складених та завершуючи її формуванням уявлення про математичний вираз. Крім того, як відомо, кожен знак арифметичної дії “+” (плюс), “-“ (мінус), “· чи ´”, “:” має подвійний смисл: по-перше, позначає відповідну арифметичну дію, яку необхідно виконати над числами; по-друге - позначає відповідний математичний вираз: суму 3+2, різницю 9-5, добуток 7·5, частку 81:9. Отже, вчителеві слід мати це на увазі, формуючи уявлення школярів про математичні вирази.

Оскільки діти знайомляться із найпростішими та складеними числовими виразами, то слід говорити про формування у дітей спочатку уявлень про найпростіші, а потім про складені вирази. У кожному із названих випадків слід дотримуватися кожного із трьох етапів. На підготовчому етапі до ознайомлення з найпростішими математичними виразами, який розпочинається з перших уроків математики, а завершується на уроці, де вперше явно вводиться перший математичний вираз - сума. Учні фактично вперше зустрічаються із математичними виразами вже тоді, коли з допомогою карток виставляють на набірному полотні цифри 1, 2, 3 тощо або 1+1, але при цьому вони не застосовують відповідної термінології.

Яка ж система вправ використовується при підготовці до введення першого найпростішого математичного виразу «сума»? – аналіз системи вправ підручників з математики та методичних посібників для вчителів дозволяє віднести до них принаймні наступні: 1) визначення чисельності скінченних множин за допомогою лічби; 2) порівняння чисельностей двох скінченних множин предметів; 3) утворення наступного і попереднього числа із двох доданків; 4) розв'язування прикладів на додавання і віднімання чи множення і ділення відповідно; 5) порівняння чисел; 6) засвоєння відповідної термінології та символіки; 7) розв'язування простих задач тощо.

Як же відбувається формування і розвиток уявлень молодших школярів про числові вирази? – оскільки з першим числовим виразом учні зустрічаються при вивченні арифметичного матеріалу, то цілком зрозуміло, що поняття про числовий вирах слід формувати у тісному зв'язку з вивченням арифметичних дій. Крім того, робота з формування уявлень дітей про числові вирази відбувається у такій послідовності: 1) ознайомлення із найпростішими виразами сума і різниця; 2) введення виразів на дві дії, серед яких є як дія додавання, так і дія віднімання, наприклад: 5+1+2, 7-2-2, 9-2+1 тощо; 3) ознайомлення із складеними виразами, які включають в себе дві дії першого ступеня з дужками, наприклад: 12-(3+2), 18-(10-5), 7+(3-2) тощо; 4) введення найпростіших виразів, що містять дії множення і ділення, наприклад: 5·7, 14:2 тощо; 5) ознайомлення із виразами на дві дії першого і другого ступеня, при обчисленні числових значень яких дії виконуються у порядку слідування, наприклад: 9·7-53, 2·6-2, 16:4+6, 12·3:9 тощо; 6) введення виразів на дві дії першого і другого ступеня, при знаходженні числових значень яких використовується правило порядку виконання дій у виразах з дужками, наприклад: (15-3):4, (13+7)·5 тощо; 7) ознайомлення із виразами, які містять три і більше дій, наприклад: 728·5-123:6.

Коли і як відбувається знайомство молодших школярів із першим найпростішим числовим виразом? – при вивченні додавання і віднімання у межах десяти. Це обумовлено тим, що теоретичною основою випадків віднімання виду 9-6 є віднімання числа від суми, тобто 9-6=(6+3)-6. Отже, виникає необхідність обізнаності учнів з математичними виразами. Як ми вже зазначали, першими найпростішими математичними виразами з точки зору математики фактично є числа 1, 2, 3 тощо. Крім того, уже при вивченні числа 2 діти знайомляться з математичними виразами - сума 1+1, різниця 2-1. Разом з тим, складаючи таблиці додавання і віднімання з переходом через десяток, учні використовують знаки “+” (плюс) і “-“ (мінус).лише як коротке позначення слів “додати” чи “відняти”, вживаючи замість терміна “вираз” слово “приклад”.

У подальшій роботі з формування уявлень дітей про дії додавання і віднімання поступово вводяться назви компонентів і результатів дій додавання і віднімання, назви знаків дій “плюс”, “мінус” і термін “вираз”. Спочатку ці терміни використовуються лише у мові вчителя, а потім поступово входять до активного словника школярів. З цією метою у підручнику є вправи виду: 1) прочитай спочатку вирази на додавання, а потім вирази на віднімання, наприклад: 8+2, 16-7 тощо; 2) складіть і запишіть два вирази на віднімання, а потім на додавання, наприклад: 7-2, 6+7 тощо; 3) випишіть парами рівні між собою вирази, наприклад: 10+7=9+8, 12-7=14-9 тощо. Вчитель не повинен забувати про те, що у разі нерозуміння учнями вказаних формулювань, слід термін вираз замінити словом приклад. Коли школярі ознайомилися з дужками, то у них підсвідомо формується інше значення знаків дій: знак “+” (плюс) позначає у виразі (7+3)+5 суму чисел 7 і 3, а знак “мінус” у виразі (12-2)-3 – різницю чисел 12 і 2. Таким чином, вся проведена робота готує дітей до введення перших найпростіших числових виразів: сума і різниця.

Як же ознайомлювати школярів з найпростішими числовими виразами? – аналіз методичної літератури свідчить, що всі найпростіші математичні вирази (сума, різниця, добуток, частка) вводяться майже однаково. Відмінність полягає лише в тому, що при введенні першого числового виразу “сума” діти спочатку знайомляться з цим терміном як результатом дії додавання, а лише через 2-3 уроки термін “сума” вводиться для позначення математичного виразу. При ознайомленні з різницею, добутком і часткою терміни “різниця”, “добуток” і “частка” зразу ж вводяться як для позначення результату арифметичних дій, так і для позначення математичного виразу. Виходячи із цього, можна зробити висновок про те, що ТМО ознайомлення дітей з найпростішими виразами аналогічні.

Як же ввести перший числовий вираз «сума»? – через два-три уроки після того, як діти познайомилися із назвами компонентів і результату дії додавання та засвоїли відповідну термінологію, вчитель проводить таку бесіду: як називаються числа при додаванні? – перший доданок, другий доданок. Як називається результат дії додавання? – сума. Після цього на дошці вивішується таблиця (див. таблицю № 12.1.), яка слугує наочним підкріпленням для певних учнів. Вчитель запитує: як би Ви назвали у прикладах на додавання запис, який складається із двох чисел, що з’єднані знаком “плюс” і стоїть праворуч від знака дорівнює? – якщо діти не дадуть правильної відповіді, то вчитель повідомляє, що такий запис в математиці також називають сумою, і повідомляє новий спосіб читання: сума чисел 5 і 3. Отже, запис, що стоїть по іншу сторону від знака “=” також називають сумою. З метою наочного підкріплення на дошці вивішується таблиця № 12.2. Для того, щоб учні засвоїли нове значення терміна “сума”, виконуються наступні вправи: 1) запишіть суму чисел 9 і 2; 2) обчисліть суму чисел 5 і 4; 3) прочитайте запис 2+7 та скажіть чому дорівнює сума; 4) порівняйте суми чисел 6+5 і 6+4, скажіть, яка із них більша, запишіть із знаком “>”. У процесі виконання таких вправ школярі поступово усвідомлюють подвійний зміст терміна “сума”: як назви самого виразу і як назви значення виразу, а також засвоюють висновки: щоб записати суму чисел, необхідно їх сполучити знаком “плюс”; щоб знайти значення суми, слід додати задані числа. Приблизно так само ведеться робота із ознайомлення учнів з іншими найпростішими виразами: різницею, добутком і часткою, але кожен із цих термінів вводиться зразу і як назва результату дії, і як назва відповідного виразу.

Таблиця № 12.1.		Таблиця № 12.2.
	+		=				+		=
Перший доданок		Другий доданок		Сума	Сума		Сума

Для того, щоб формувати у дітей уявлення про найпростіші математичні вирази (сума, різниця, добуток і частка) та створювати належні умови для засвоєння відповідної термінології використовується така система вправ:

1) завдання, в яких потрібно записати відповідний математичний вираз, наприклад: запишіть суму чисел “5” і “2”;

2) вправи на обчислення числових значень вказаних математичних виразів, наприклад: обчисліть, чому дорівнює різниця чисел “7” і “3”;

3) завдання на читання відповідних виразів та обчислення їхніх числових значень, наприклад: прочитайте запис 3·2 і знайдіть його числове значення;

4) замініть дане число сумою (різницею, добутком, часткою) двох чисел, наприклад: замініть число 144 добутком двох однакових співмножників;

5) вправи на порівняння двох чисел, числа і виразу або двох виразів, наприклад: 27*23, 34*30+5, 40+7*40+5 тощо. Для того, щоб виробити відповідні уміння пропонуємо студентам виконати завдання № 1 для самостійної роботи.

Для того, щоб полегшити дітям засвоєння нового значення терміна сума, як назви виразу, для особистісної орієнтації навчального процесу слід пропонувати дітям наступні вправи: 1) запишіть суму чисел 7 і 2; 2) обчисліть, чому дорівнює сума чисел 3 і 4; 3) прочитайте запис 6+3. Чому дорівнює сума цих чисел?; 4) порівняйте суми чисел 6 і 3, 6 і 2. Яка з них більша?; 5) поставте знаки <, > або =: 6+3*6+2. Прочитайте запис.

Аналіз методичної літератури свідчить, що поняття про числовий вираз у молодших школярів слід формувати у тісному зв’язку з вивченням арифметичних дій. Робота над виразами проводиться у такій послідовності:

1) формування уявлень про найпростіші числові вирази (сума та різниця двох чисел) та введення виразів на дві дії (9+4-2; 7+2+3; 12-3-4);

2) вирази на дві дії першого ступеня із застосуванням дужок, наприклад: 10-(4+3), 17-(10-3);

3) вирази на дві дії першого і другого ступенів, знаходження числових значень яких виконується в порядку слідування дій (12:3+8, 6:2·8);

4) вирази на дві дії першого і другого ступенів, знаходження числових значень яких спирається на правила порядку виконання арифметичних дій (20-16:2, 24:(3·2));

5) вирази на три і більше дій (9·8+9·3, 4038·97-2460:60). (Пропонуємо студентам виконати завдання № 2 для самостійної роботи)

Як же ознайомити учнів зі складеними виразами? – аналіз методичної літератури та діючих підручників з математики для І-ІУ класів дозволяє твердити, що спочатку слід провести необхідну підготовчу роботу. Її сутність полягає в тому, що формування уявлень про складені вирази розпочинається вже при вивченні табличних випадків додавання і віднімання. Так, неявно перші складені вирази з'являються вже тоді, коли діти, складаючи таблиці додавання та віднімання, використовують прийоми прилічування чи відлічування по одному або прилічування чи відлічування групами, наприклад: 7+2=7+1+1=8+1=9, 13-5=13–3-2=10-2=8. Школярі при виконанні таких вправ міркують так: 2 це 1 і 1, щоб до 7 додати 2, необхідно до 7 додати 1, а до одержаного результату додати ще 1. Отже, розглядаючи такі складені вирази, діти не читають їх як складені, але знайомляться із тотожнім перетворенням математичних виразів та з порядком виконання дій у виразах без дужок.

Як же ввести перший складений вираз? – вивчення методичної літератури, спостереження за роботою вчителів свідчать, що зробити це можна двома способами: 1) розпочати знайомство зі складеними виразами в готовому вигляді; 2) отримати перший складений числовий вираз на очах у дітей в результаті утворення його із двох простих. Вибір того чи іншого шляху слід проводити відповідно до індивідуальних особливостей учнів класу. Крім того, вчитель повинен не забувати про перспективні лінії у формуванні уявлень школярів про складені вирази: ускладнення виразів проводиться за двома лініями, по-перше, розширюється числова область, на якій розглядаються вирази, по-друге, ускладнюється структура розглядуваних виразів. Враховуючи сказане, розглянемо ТМО ознайомлення учнів із першим складеним виразом, що містить дужки, за першим варіантом.

Вчитель пропонує учням розв’язати складену задачу “У гаражі стояло 9 вантажних і 5 легкових автомобілі. 8 автомобілів виїхало. Скільки автомобілів залишилося у гаражі?”. Розв’язавши цю задачу та записавши її розв’язання по діях, вчитель проводить з дітьми наступну роботу: що ми визначали у першій дії? – загальну кількість автомобілів у гаражі. За допомогою якою дії ми це зробили? – за допомогою дії додавання, знайшовши суму чисел 9 і 5. Як називається запис 9+5? – сумою чисел 9 і 5. Як ми визначали кількість автомобілів, які залишилися у гаражі? – від суми чисел 9 і 5 відняли число 8. Чи можна записати розв’язання задачі одним виразом? – так, (9+5)-8.

Після цього приступаємо до навчання учнів умінню читати складені вирази. З цією метою проводимо таку бесіду: яку дію у цьому виразі виконуватимемо останньою? – віднімання. Як називаються числа при відніманні? – зменшуване і від’ємник. Чим виражене зменшуване? – сумою чисел 9 і 5. Чому дорівнює від’ємник? – 8. Як можна назвати весь вираз, якщо останньою дією в ньому є віднімання? – різницею. Як можна його прочитати? – різниця суми чисел 9 і 5 та числа 8 або зменшуване виражене сумою чисел 9 і 5, а від’ємник дорівнює 8. Після цього розпочинається робота з формування у школярів уміння читати, записувати та обчислювати значення складених числових виразів.

Одним із завдань ознайомлення учнів з математичними виразами є формування у них умінь читати вирази. Аналіз досвіду роботи вчителів свідчить, що формування цього уміння відбувається досить повільно і з великими труднощами. Значна частина школярів так і не навчається читати вирази. Для того, щоб полегшити дітям це завдання, зазначимо, що вирази виду 80+(90-6·7) можна прочитати двома способами: 1) до 80 додати значення виразу, який записаний у дужках; 2) знайти суму, в якій перший доданок 80, а другий – значення виразу, що стоїть у дужках. Використання таких способів читання особливо корисно для слабших учнів, бо їм надзвичайно важко читати вираз так: сума числа 80 і різниці числа 90 та добутку чисел 6 і 7.

Спостереження за учнями під час уроків, аналіз продуктів їхньої діяльності дозволяють твердити, що це уміння формується досить важко. Як же подолати труднощі, які зустрічатимуться, враховуючи індивідуальні особливості школярів? – для цього вчитель повинен добре усвідомлювати ТМО такої роботи та знати призначення кожної із наявних у підручниках вправ. Яка ж система вправ використовується для цього? – аналіз наявних підручників з математики для початкових класів і методичних посібників для вчителів дозволяє зробити висновок про те, що до неї входять наступні: 1) вправи на читання складених виразів; 2) завдання на запис складених виразів; 3) вправи на обчислення числових значень складених виразів; 4) запис розв'язування складених задач за допомогою складання виразів; 5) завдання на складання текстових задач за заданим виразом; 6) вправи на порівняння числа і виразу чи двох виразів тощо.

Розглянемо приклади особистісно-орієнтованого підходу при використанні цих вправ у роботі з дітьми. Так, якщо слід виконати вправу “До суми чисел 8 і 2 додати 7”, то для учнів, які не можуть самостійно справитися із її виконанням, пропонуємо систему запитань: що спочатку будемо знаходити? – суму. Як це показати у записі прикладу? – поставити дужки, а на дошці повинен з’явитися запис (8+2). Що слід зробити з цією сумою? – додати до неї 7. Як це записати? – (8+2)+7. Аналогічно ведеться робота із вправами виду “До різниці чисел 10 і 4 додати 6; від числа 18 відняти різницю чисел 15 і 7 тощо”. Через кілька уроків слід відмовитися від запитань, а запропонувати школярам самостійно виконувати такі вправи, супроводжуючи виконання детальними поясненнями: оскільки до суми чисел 8 і 2 слід додати число 7, то суму чисел 8 і 2 необхідно взяти в дужки, тобто (8+2)+7.

Розв’язуючи вправи виду “Скласти вираз, використовуючи число 10 і вираз 5+4”, з учнями, які не можуть самостійно виконати завдання, роботу слід проводити так: що слід додати до числа 10? – суму чисел 5 і 4. Як слід виділити суму чисел 5 і 4 так, щоб її зразу було видно у прикладі, де є й інші числа? – взяти її в дужки. Як же запишемо вираз? – 10+(5+4). Прочитайте одержаний вираз! – до числа 10 додати суму чисел 5 і 4. Обчисліть значення одержаного виразу! – 19.

Для тих дітей, яким і після проведеної роботи важко читати вирази, можна дозволити користуватися відповідною пам’яткою, що може мати вигляд, представлений у наступній таблиці № 12.3. Таку пам’ятку слід використовувати доти, доки учні не зможуть скласти, записати чи прочитати відповідний вираз без неї, але якщо учні почнуть допускати помилки, то до використання пам’ятки необхідно повернутися знову. Для того, щоб сформувати уміння читати складені вирази, що містять дві і більше дій, у практиці роботи вчителів використовуються і пам’ятки, представлені у таблиці № 12.4.

Як же формуються уміння читати, записувати та обчислювати значення складених виразів при розв’язуванні текстових задач? – у процесі запису розв’язання задачі за допомогою виразу. Після засвоєння учнями змісту задачі і встановлення шляхів їх розв’язання, визначають дії, які потрібні для розв’язання, та їхню послідовність. Потім кожну дію лише записують, але обчислення не виконують. Вираз, складений для першої дії, буде одним з компонентів другої дії; другий вираз (ускладнений) буде одним із компонентів третьої дії тощо. У результаті дістають числовий вираз, який відображає весь процес пошуку шляхів розв’язання задачі, та показує послідовність дій для її розв’язування. Для деяких дітей дуже корисно, щоб під час розв’язування задач складався також план її розв’язування. Досвід свідчить, що аналіз задачі в таких випадках краще проводити синтетичним способом, тобто від числових даних до запитання. Враховуючи сказане, пропонуємо студентам виконати завдання № 3 для самостійної роботи.

Як же діти ознайомлюються з правилами порядку виконання дій? – розглядаючи основні завдання, добитися виконання яких слід вчителеві при ознайомленні учнів із виразами, ми зазначали, що дітям необхідно засвоїти правила про порядок виконання арифметичних дій. Ознайомлення з правилами проводиться у такій послідовності: 1) правило про порядок виконання дій у виразах без дужок, коли над числами виконують або тільки додавання і віднімання, або тільки множення і ділення, наприклад: 80-34+10, 80-30-25, 32+28-19, 6·10:5, 70:10·3, 28:7·4 тощо; 2) правило про порядок виконання дій у виразах, які містять дії першого і другого ступеня без дужок, наприклад: 32·3-36:6, 74+24:3 тощо; 3) правило про порядок виконання дій у виразах з дужками, наприклад: (70-20):5, (28+24)·2 тощо.

Аналіз методичної літератури та спостереження за роботою вчителів свідчать, що ознайомлення з усіма правилами відбувається приблизно однаково: спираючись на практичні уміння учнів, вчитель звертає їхню увагу на порядок виконання дій у відповідних виразах і формулює відповідне правило. З відповідним правилом учні можуть ознайомитися у підручнику, а потім виконують підібрані вчителем приклади, пояснюючи свої дії у кожному прикладі (пропонуємо студентам виконати завдання № 4 для самостійної роботи). Вчитель повинен обов’язково звернути увагу дітей на те, як важливо дотримуватися цих правил при обчисленнях, бо у противному разі можна отримати неправильну рівність. З цією метою школярам пропонується виконати двома різними способами приклади виду 54-26+13 чи 60:10·6. Правильне і неправильне виконання дій представлене у таблиці № 12.5. Формування умінь застосовувати правила про порядок виконання дій відбувається за допомогою системи вправ, яка включає в себе принаймні наступні: 1) розв'язування прикладів з поясненням порядку виконання в них дій; 2) вправи на пояснення помилок на порядок виконання дій, наприклад: із заданих пар прикладів виписати лише ті, в яких обчислення виконані з використанням правила про порядок виконання дій: 20+30:5=10 і 20+30:5=26; 3) вправи на обчислення значень виразів, коли учневі доводиться використовувати всі вивчені правила про порядок виконання дій, наприклад: 36+(6+3·2); 4) вправи, в яких слід розставити дужки так, щоб вираз набував вказаного значення, наприклад: 72-24:6+2=69. З метою набуття відповідних професійних умінь пропонуємо студентам виконати завдання № 5 для самостійної роботи.

Як формуються уявлення школярів про тотожні перетворення виразів? – як відомо, тотожні перетворення числового виразу – це заміна даного виразу іншим, без зміни його значення. Програмою передбачено виконання таких перетворень з опорою на властивості арифметичних дій та наслідки (правила), які випливають із них (правило додавання суми до числа, числа до суми, віднімання числа від суми чи суми від числа тощо). При вивченні кожної властивості чи правила школярі на конкретних прикладах переконуються, що у виразах певного виду арифметичні дії можна виконати по-різному, але значення виразу при цьому не зміниться. У подальшому знання розглянутих властивостей і правил діти застосовують для тотожних перетворень виразів. Для того, щоб учні переконалися у правильності виконаних перетворень, їх слід привчати обчислювати значення заданого та перетвореного виразів і порівнювати їх. Прочитавши вираз, школяр повинен згадати відповідну властивість чи правило і, виконавши дії за правилом, отримати перетворений вираз.

У процесі обчислення значень складених виразів ми постійно виконуємо тотожні перетворення. З цією метою використовуються наступні вправи: 1) продовжити запис так, щоб знак “=” зберігся, наприклад: 86-(30+3)=86-30..., (20+3)●4=20●4..., 60:(3●10)=60:10...; 2) перевір правильність обчислень, наприклад: 46 + 30 = (40 + 6) + 30 = (40 + 30) + 6 = 70 + 6 = 76, 17●40=17●(4●10)=(17●4)●10=68●10=680; 3) обчисліть значення виразів і порівняйте їх, наприклад: 85-40=80-40=40+5=45, 34●12=(10+2)=34●10+34●2=340+68=408. При виконанні вказаних правил вчитель повинен вимагати від дітей пояснення виконуваних операцій (називання відповідного правила чи властивості, обґрунтування того, чому всі ці вирази сполучені знаком “=”).

Як виконуються молодшими школярами перетворення виразів у подальшому навчанні? – якщо спочатку тотожні перетворення виразів виконувалися лише на основі властивостей чи відповідних правил, то пізніше це робиться на основі конкретного змісту відповідної арифметичної дії. Окрім того, на основі обчислень і аналізу спеціально підібраних виразів учнів слід підвести до висновку: якщо у виразі з дужками вони не впливають на порядок дій, то їх можна не ставити. З цією метою використовуються наступні вправи: 1) обчислити (40+30)-20, (10:2)●6=10:2●6; 2) запишіть дані вирази без дужок так, щоб їхнє значення не змінилося, наприклад: (75+20)-65, (60+36):6 тощо (особливістю таких вправ є те, що вони мають яскраво виражену особистісну спрямованість, бо допускають кілька варіантів розв’язання: так для першого із наведених прикладів маємо: а) 40+30-20; б) 40-20+30; в) 30-20+40). Такі вправи допомагають переконати дітей, що значення виразу не змінюється при зміні порядку виконання дій лише в тому випадку, коли при цьому застосовуються властивості арифметичних дій або відповідні правила, які є наслідками з них. Подальше формування уявлень молодших школярів про тотожне перетворення виразів відбувається у процесі розгляду виразів, що містять змінну.

Як же ознайомити учнів із виразами, що містять змінну? – підготовчою роботою до ознайомлення учнів із виразами, що містять змінну, є наступне: 1) виконання вправ із віконцями, наприклад: □+2=7, □-5=3, 9-□=4 тощо; 2) ознайомлення з новими буквами латинського алфавіту, причому спочатку вводяться букви, які пишуться і читаються в українській і латинській мовах однаково, (наприклад: а, к, м тощо), потім, які пишуться однаково в обох мовах, але читаються по-різному (наприклад: в, с, р тощо), і нарешті, які пишуться і читаються по-різному (наприклад: d, n, l тощо); 3) розв'язування вправ на знаходження невідомих компонентів арифметичних дій, наприклад: х+7=9, с-7=12, 15-у=8 тощо; 4) розв'язування задач з пропущеними числами, наприклад: “У магазин привезли... ящиків огірків і... ящиків помідорів. Скільки всього ящиків овочів привезли у магазин?”.

Вивчення досвіду роботи вчителів, аналіз методичної літератури свідчать, що при розв’язуванні вказаних вправ потрібно вміло комбінувати індуктивний і дедуктивний методи, що сприятиме особистісній орієнтації навчального процесу. Сутність такої роботи покажемо на наступних прикладах. Так, розв'язування наведеної вище задачі корисно оформити у наступну таблицю № 12.7. Перша із таких задач розбирається детально, і вчитель показує, як записати її розв’язання у таблиці. При заповненні останнього рядка таблиці розв’язання задачі записується у вигляді виразу, а відповіді учні називають усно. Спочатку школярам пропонуємо порівняти задачі, а потім їхні розв’язання. Учнів підводимо до висновків: сюжеті задачі спільні; всі задачі розв'язуються однією дією; подібних задач можна скласти багато, використовуючи при цьому різні числа.

Як же ввести перший буквений вираз? – вивчення досвіду роботи вчителів і методичних посібників для вчителів дозволяє твердити, що найкраще з цією метою використати вправи, які передбачають переходи від числових виразів до буквених і, навпаки, від буквених до числових. Наприклад, на дошку вивішується планшет з трьома кишенями, на яких написано: “І доданок”, “ІІ доданок”, “Сума”. У процесі бесіди з учнями вчитель заповнює кишені картками із записаними на них числами та математичними виразами (див. таблицю № 12.8.).

За цією таблицею проводиться наступна робота: чи можна ще скласти інші вирази? – так. Скільки таких виразів можна ще скласти? – багато. Що є спільного у всіх цих виразах? – дія додавання. Що є відмінного у всіх цих виразах? – різні доданки. Після цієї бесіди пояснюємо дітям, що, замість того, щоб записувати різні числа, можна позначити будь-яке число, яке може бути першим доданком буквою в, а будь-яке число, яке може бути другим доданком, буквою с, тоді суму можна позначити так: в+с (відповідні картки виставляються у кишеньках таблиці – див. таблицю № 12.9.). За таблицею № 12.9. вчитель пояснює, що в+с (в плюс с) також математичний вираз, в якому доданки позначені буквами: кожна із букв позначає будь-які числа. Ці числа називаються числовими значеннями букв чи просто значеннями букв. Аналогічно слід ввести буквені вирази в-с, в●с, в:с (пропонуємо студентам виконати завдання № 7 для самостійної роботи).

Як же довести до свідомості дітей, що букви, які входять до буквеного виразу в+с, в-с, в●с чи в:с можуть приймати множину числових значень? Що сам буквений вираз є узагальненим записом числових виразів? – з цією метою використовуються наступні вправи:

1) на перехід від буквених виразів до числових. З цією метою використовують таблицю № 12.10., за якою проводять наступну роботу: виставте перший доданок в, другий доданок – с. Якою буде сума? – в+с. Як обчислити значення цієї суми? – підставляти значення замість букв в і с. Скільки числових виразів можна одержати при підставлянні? – багато. Виконуючи вправи за цією таблицею, учні переконуються, що, надаючи буквам різноманітні числові значення, можна одержати багато, скільки завгодно числових виразів.

2) на знаходження числових значень буквених виразів за даними значеннями букв, наприклад: “Прочитайте вираз а+d. Обчисліть його значення, якщо а=5, d =30, а=17, d=8, а+2, d =18”;

3) на підбір самими учнями числових значень букв, що входять у вираз, і на знаходження числових значень одержаних виразів, наприклад: “Заповніть таблицю” (див. таблицю № 12.11.). Вправи 2 і 3 використовуються з метою конкретизації буквених виразів;

4) на обчислення значень виразів виду а±24, 17±с, з допомогою яких розкривається поняття сталої. Вказані вправи можуть бути двох видів: на перехід від буквених виразів до числових і, навпаки, від числових виразів до буквених. Для особистісної орієнтації навчального процесу слід використовувати наочну опору у вигляді наступної таблиці № 12.12. За цією таблицею слід провести таку роботу: що можна сказати про перші множники? – вони різні. Що можна сказати про другі множники у добутках? – вони однакові. Як можна позначити перший множник, щоб показати, що він може приймати різні числові значення? – буквою.

5) на знаходження числових значень виразів при заданих значеннях букв, наприклад: “Запишіть суму чисел к і 40. Обчисліть значення виразу, якщо к=6, к=34, к=50”;

6) на підбір самими учнями числових значень букви, що входить до виразу, наприклад: “Прочитайте вираз с:5. Надайте букві с два числових значення та обчисліть значення виразу”;

7) на перетворення таблиці з трьома графами у таблицю з двома графами і навпаки, таблиці з двома графами у таблицю з трьома графами (див. відповідні таблиці №№ 12.13. і 12.14.). За цими таблицями можна провести наступну роботу: що можна сказати про зменшувані у кожному виразі? – вони однакові. Що можна сказати про від’ємники у кожному виразі? – вони різні. Як можна записати вираз, у якому зменшуване однакове, а від’ємники – різні, використовуючи тільки одну букву? – 68-d.

Про які ТМО не повинен забувати вчитель при формування уявлень дітей про вирази, що містять змінну? – 1) не всі значення змінних можна підставляти у вираз, що містить змінну, наприклад: у вираз 47-а можна підставляти значення змінної, які не перевищують 47, бо інакше різниця не буде існувати; у вираз 48:к можна підставляти значення, при яких частка існує тощо; 2) букви є засобом узагальнення знань учнів про арифметичні дії та їх властивості; 3) формування уявлень про вирази, що містять змінну, слід вести на основі принципу переходу від конкретного до абстрактного і навпаки, від абстрактного до конкретного.

Формуванню яких умінь сприяє виконання розглянутих вправ? – 1) уміння записати за допомогою букв властивості арифметичних дій; 2) уміння записати за допомогою букв зв’язок між компонентами і результатами арифметичних дій, наприклад: а+а+а+а+а=а●5, с●4=с+с+с+с; 3) уміння прочитати записані з допомогою букв властивості арифметичних дій, залежності, відношення тощо, наприклад: до різниці чисел с і 35 додати число 35, тобто (с-35)+35=с; 4) уміння виконати тотожні перетворення виразу на основі знань про властивості арифметичних дій, наприклад: закінчити запис (7-с)●5=7●5-...(учні повинні міркувати так: у лівій частині рівності різницю чисел 7 і с слід помножити на 5, а у правій – зменшуване 7 множимо на 5. Отже, щоб праворуч вийшло стільки ж само, скільки ліворуч, потрібно помножити від’ємник на 5 і результати відняти); 5) уміння довести справедливість рівностей чи нерівностей з допомогою числової підстановки, наприклад: “Показати, що при будь-яких значеннях букви правильні наступні рівності чи нерівності к-7=к-7, с+27<с+25, а●0+0 тощо”. Отже, використання буквеної символіки, формування уявлень про вирази зі змінною сприяє підвищенню рівня узагальнення знань, яких набувають молодші школярі, та готує їх до вивчення систематичного курсу алгебри у сьомому класі.

Поиск по сайту: