Теоретико-методичні основи вивчення усних прийомів додавання і віднімання двоцифрових чисел

4. Характерною ознакою усних обчислень є виконання обчислень, починаючи з вищих розрядів, відсутність єдиного спільного для всіх алгоритму та запису проміжних результатів. Прийоми усного додавання і віднімання чисел у концентрі “Сотня” повинні розкриватися в органічному зв'язку з вивченням теоретичного матеріалу, бо вони ґрунтуються на властивостях додавання та відповідних правилах додавання і віднімання (переставна і сполучна властивість суми, додавання числа до суми, додавання суми до числа, додавання суми до суми, віднімання числа від суми і суми від числа, віднімання суми від суми тощо). Такий підхід дозволяє, з одного боку, краще засвоювати питання теоретичного характеру, а з іншого – зразу ж показувати його практичне застосування, що спричиняє краще формування свідомих обчислювальних навичок.

Успішне оволодіння усними прийомами додавання і віднімання у цьому концентрі неможливе: 1) без свідомого засвоєння нумерації чисел в межах ста; 2) без осмислення практичної значущості властивостей і правил, на яких ґрунтуються відповідні прийоми; 3) без міцного засвоєння табличних випадків додавання і віднімання; 4) без уміння виконувати перетворення виду 17 од.=1дес.7од.; 5) без знання співвідношень між розрядними одиницями; 6) без уміння розкладати число на суму зручних чи розрядних доданків.

Відповідно до сказаного, саме актуалізації цих знань і умінь учнів повинна приділятися значна увага при підготовчій роботі до введення відповідного прийому обчислень. Ми вже не раз зазначали, що ознайомлення школярів з новим матеріалом слід проводити у три етапи. Розгляду кожного нового обчислювального прийому повинна передувати підготовча робота, яка завершується ознайомленням із обчислювальним прийомом. Після цього розпочинається формування навичок обчислень, їх закріплення чи доведення до автоматизму. На підготовчому етапі вчитель, відповідно до наявного індивідуального рівня сформованості відповідних знань і навичок, повинен основну увагу зосередити на: а) додаванні і відніманні одноцифрових чисел; б) розгляді нумераційних випадків додавання і віднімання виду: 10+7, 15-5, 18-10, 16-1, 49+1, 50-1; в) розкладі чисел на розрядні доданки.

Вчитель повинен розуміти, що крім підготовчої роботи до розгляду всіх обчислювальних прийомів, яка проводиться у попередніх темах, є підготовча робота, яка проводиться безпосередньо на уроці, що присвячений ознайомленню дітей з відповідним обчислювальним прийомом. Так, наприклад, безпосередньо на уроці, на якому вводиться прийом додавання і віднімання круглих десятків, слід повторити перетворення виду 50=5 дес., а перед введенням прийому додавання виду 24+30 – розклад числа на розрядні доданки і правило додавання числа до суми. На основі сказаного можна зробити висновок, що сутність підготовчої роботи визначається на підставі ТМО вивчення того чи іншого матеріалу та індивідуальних особливостей учнів. Такий підхід зробить навчальний процес особистісно-орієнтованим і значно підвищить його результативність.

Аналіз програмних вимог, які деталізовані у діючих підручниках, дозволяє констатувати, що порядок ознайомлення школярів з усними прийомами додавання і віднімання у концентрі “Сотня” такий: 1) нумераційні випадки додавання і віднімання, до яких відносяться: 49+1, 16-1, 18+10, 28-10, 10+8, 15-5; 2) випадки додавання і віднімання круглих чисел, які зводяться до додавання і віднімання одноцифрових іменованих чисел, наприклад 50+40, 80-30; 3) випадки додавання і віднімання виду 34+30, 54-30, 34+3, 57-3, 30+54, 4+45; 4) випадки виду 34+52, які ґрунтуються на правилі додавання суми до суми, або числа до суми, або суми до числа; 5) випадки віднімання виду 57-34, які можуть ґрунтуватися на правилі віднімання суми від суми (або числа від суми) або суми від числа; 6) випадки додавання виду 76+4, які ґрунтуються на правилі додавання числа до суми; 7) випадки додавання виду 28+59, які ґрунтуються на правилі додавання суми до суми, або числа до суми, або суми до числа; 8) випадки віднімання виду 53-8, які ґрунтуються на правилі віднімання числа від суми і суми від числа; 9) випадки віднімання виду 84-29, які ґрунтуються на правилі віднімання суми від числа; 10) випадки віднімання виду 50-34, які ґрунтуються на правилі віднімання суми від числа. На відміну від табличних випадків додавання і віднімання і від нумераційних випадків додавання і віднімання випадки 2-10 прийнято називати позатабличними.

ТМО ознайомлення учнів з усними прийомами обчислень у концентрі “Сотня” практично одні і ті ж самі. Саме тому систему роботи вчителя при введенні прийомів обчислень покажемо на конкретних прикладах. Нумераційні випадки додавання і віднімання ґрунтуються на засвоєнні послідовності натурального ряду чисел або на знаннях десяткового складу чисел. Так, наприклад, ознайомлюючи дітей з випадками додавання виду 39+1, вчитель повинен використати наявні у школярів знання про послідовність натуральних чисел та утворення наступного за даним числа. Вчитель запитує: що означає до 39 додати 1? - знайти число, яке безпосередньо слідує за числом 39. Яке ж число слідує безпосередньо за числом 39? - 40. Чому дорівнює сума чисел 39 і 1? – 40. Отже, 39+1=40. Введення прийому обчислень для випадку додавання виду 18+10 можна провести так: скільки окремих десятків і одиниць у числі 18? - 1 дес. і 8 од. Скільки окремих десятків і окремих одиниць у числі 10? - 1 дес. і 0 од. Скільки буде, якщо до 1 дес. додати ще 1 дес.? – буде 2 дес. Скільки отримаємо, якщо до 2 дес. додати 8 од.? – буде 28 од. Отже, 18+10=28.

Теоретичною основою випадків додавання і віднімання круглих чисел є додавання і віднімання одноцифрових іменованих чисел і уміння виконувати перетворення виду 60=6 дес. і 7 дес.=70. Враховуючи сказане, пояснення прийому додавання у випадках виду 30+40 можна провести так: скільки десятків у числі 30? - 3 дес. Скільки десятків у числі 40? - 4 дес. Скільки буде, якщо до трьох десятків додати 4 десятки? - 7 дес. Скільки одиниць у семи десятках? - 70. Отже, 30+40=70. Так детально діти розглядають лише перші кілька прикладів, а потім проміжні результати виконують про себе. Але якщо діти почнуть допускати помилки, то потрібно повернутися до детальних пояснень.

Прийоми обчислень у випадках 34+30, 34+3 ґрунтуються на правилах додавання числа до суми, а тому обчислення можна провести з використанням бесіди, яка повинна завершитися таким записом: 34+30=(30+4)+30=(30+30)+4=60+4=64. Теоретичною основою виконання обчислень у випадках віднімання виду 54-30, 57-3 є правило віднімання числа від суми. Саме тому записи оформляються спочатку у такому вигляді: 57-3=(50+7)-3=50+(7-3)=50+4=54. Прийоми обчислень у випадках додавання виду 30+54, 4+45 ґрунтуються на переставній властивості додавання і на прийомах обчислень у випадках виду 54+30 і 45+4. Отже, учні повинні при введенні прийому оформляти записи так: 4+45=45+4=(40+5)+4=40+(5+4)=40+9=49.

Випадки додавання виду 34+52 можуть ґрунтуватися або на правилі додавання суми до суми, або на правилі додавання числа до суми, або на правилі додавання суми до числа. Відповідно до названих правил, учні мають можливість обирати один із трьох прийомів обчислень прикладів. Використовувати учень може той, який для нього є найпростішим. Вчителеві не слід наполягати на використанні якогось конкретного прийому, бо при цьому можна зруйнувати зручний для дитини прийом, не побудувавши інший. Враховуючи підготовленість класу, вчитель може розпочати ознайомлення учнів з обчислювальним прийомом за допомогою проблемного запитання: як знайти суму чисел 34 і 52? Якщо діти не зможуть цього зробити, то можна дещо спростити їм завдання: за поданим записом знайдіть суму чисел 34 і 52. 34+52=30+4+50+2=... Наступним кроком буде система запитань: на які розрядні доданки можна розкласти число 34? – на 30 і 4. На які розрядні доданки можна розкласти число 52? – на 50 і 2. Запишемо це так 34+52=(30+4)+(50+2). Як, на вашу думку, зручніше знайти суму заданих чисел? – спочатку до десятків додати десятки, а потім до одиниць одиниці. запишемо це: 34+52=(30+4)+(50+2)=(30+50)+(4+2). Скільки буде, якщо до 30 додати 50? – 80. Скільки буде, якщо до 4 додати 2? – 6. Запишемо це: 34+52=(30+4)+(50+2)=(30+50)+(4+2)=80+6. Скільки буде, якщо до 80 додати 6? – 86. Запишемо це так: 34+52=(30+4)+(50+2)=(30+50)+(4+2)=80+6=86. Чому ж дорівнює сума чисел 34 і 52? – 86. Отже, 34+52=86. Досвід роботи вчителів свідчить, що для засвоєння цього прийому обчислень слід вимагати від учнів на перших етапах його формування промовляння вголос всіх проміжних операцій. У міру засвоєння прийому міркування вголос можна скорочувати відповідно до індивідуальних особливостей дітей. Після засвоєння прийому всі проміжні результати вони не записують, а виконують їх усно. Якщо діти почнуть допускають помилки, то слід звернутися до детальних пояснень.

У практиці роботи вчителів застосовується ще і такий спосіб пояснення цього обчислювального прийому, відмінність якого від попереднього полягає в тому, що він зрозуміліший для дітей, у яких слабо розвинене образне мислення, а тому їм потрібна наочна опора у вигляді такої таблиці (див. таблицю № 8.22.). Спостереження за роботою вчителів дає підстави для висновку про необхідність ознайомлення школярів і з таким прийомом обчислень у випадках виду 34+52, який ми подамо без детальних пояснень: 34+52=34+(50+2)=(34+50)+2=84+2=86. Легко бачити, що він ґрунтується на правилі додавання суми до числа. Для деяких дітей зрозумілішим і легшим є прийом обчислень, теоретичною основою якого є правило додавання числа до суми: 34+52=(30+4)+52=(30+52)+4=82+4=86.

Таблиця № 8.22.

34 + 52 = o     30 4 50 2
30 + 50 = 80	4 + 2 = 6
Отже, 34 +52 = 86

Оскільки методика ознайомлення учнів з наступними обчислювальними прийомами не має принципових відмінностей від розглянутих вище, то вкажемо лише відповідні записи та правила, на яких ґрунтуються відповідні прийоми. Так, наприклад, обчислення випадків віднімання виду 57-34 може проводитися одним із трьох обчислювальних прийомів: 1) 57-34=(50+7)-(30+4)=(50-30)+(7-4)=20+3=23, який ґрунтується на правилі віднімання суми від суми; 2) 57-34=57-(30+4)=(57-30)-4=27-4=23, який ґрунтується на правилі віднімання суми від числа (звернемо увагу вчителів, що при використанні цього прийому учні досить часто допускають помилки виду (57-30)+4, які пояснюються недостатнім осмисленням правила віднімання суми віл числа!); 3) 57-34=(50+7)-34=(50-34)+7=16+7=23, який ґрунтується на правилі віднімання числа від суми (хоча цей прийом не можна назвати найраціональнішим, але якщо школяр успішно ним користується, то навряд чи можна забороняти йому це робити!).

Випадки додавання виду 76+4 ґрунтуються на правилі додавання числа до суми: 76+4=(70+6)+4=70+(6+4)=70+10=80. Теоретичною основою обчислень у випадках додавання виду 28+59 можуть бути або правило додавання суми до суми, або числа до суми, або суми до числа. Відповідно до кожного правила діти можуть застосовувати один з таких прийомів (найраціональнішим тут вважається перший спосіб, але є діти, для яких зручніший другий чи третій спосіб): а) 28+59 = (20+8)+(50+9)= (20+50)+(8+9) = 70+17 = 87; б) 28+59 = (20+8)+59 = (20+59)+8 = 79+8 = 87; в) 28+59 = 28+(50+9) = (28+50)+9 = 78+9 = 87.

Випадки віднімання виду 53-8, можуть ґрунтуватися або на правилі віднімання числа від суми, або на правилі віднімання суми від числа. Перший прийом обчислень можна пояснити так: яке найбільш кругле число, менше ніж 50? - 40. На які два доданки, один з яких дорівнює 40, можна розкласти число 53? – на 40 і 13. Запишемо це так: 53-8=(40+13)-8. Як зручніше віднімати? - від 13 віднімати 8. Запишемо це: 53-8=(40+13)-8=40+(13-8)=40+5=45. Другий прийом обчислень покажемо для прикладу 53-9. Скільки окремих одиниць у числі 53? – 3. На які два доданки можна розкласти число 9 так, щоб один з доданків дорівнював 3? – на 3 і 6. Запишемо це так: 53-9=53-(3+6). Як зручніше віднімати? – від числа 53 відняти 3, а потім відняти від одержаного результату число 6. Запишемо це: 53-9=53-(3+6)=(53-3)-6=50-6=44. Оскільки теоретичною основою обчислення результату віднімання у випадках виду 84-29 є правило віднімання суми від числа, то пояснення можна провести так: 84-29=84-(20+9)=(84-20)-9=64-9=55. Випадки віднімання виду 50-34 ґрунтуються на правилі віднімання суми від числа, то його можна пояснити так: 50-34=50-(30+4)=(50-30)-4=20-4=16.

Як можна було помітити, що всі прийоми обчислень ґрунтуються або на властивостях арифметичних дій, або на відповідних правилах. Саме тому покажемо, як можна ознайомити учнів з властивостями дії додавання та з правилами, на яких ґрунтуються відповідні обчислювальні прийоми. Всі властивості і правила вводяться індуктивним шляхом, коли на основі розгляду кількох часткових випадків діти підводяться до загального висновку. Ознайомлення з кожною властивістю чи правилом передбачає розкриття їхньої суті з використанням наочних посібників, вправляння учнів у застосуванні властивості чи правила і застосування властивості чи правила для раціоналізації обчислень.

Розглянемо, як можна провести ознайомлення учнів з правилом додавання суми до числа. Розкриваючи сутність цього правила, вчитель повинен розглянути з учнями всі можливі випадки додавання суми до числа та знайти найраціональніший з них. Зробити це можна приблизно так: прочитайте вираз 5+(3+2). Як можна обчислити значення цього виразу? – як правило, знайдуться учні, які запропонують хоча б один із способів. Якщо цього не станеться, то вчитель, використовуючи наочність, може запропонувати розв’язати таку задачу: “У коробці було 5 олівців. Першого разу туди доклали 3 синіх, а другого - 2 жовтих олівці. Скільки всього олівців стало у коробці?”. Цю задачу розв’язуємо практично. Скільки олівців було у коробці? – 5. Скільки олівців доклали першого разу? – 3. Скільки олівців стало у коробці? – 8. Скільки олівців доклали у коробку другого разу? – 2. Скільки тепер стало олівців у коробці? – 10. Запишемо розв’язання задачі так: 1) 5+3=8 (ол.); 2) 8+2=10 (ол.). Після цього на дошці з’являється запис 5+(3+2)=(5+3)+2=8+2=10. Що нам слід було додати до числа 5? – суму чисел 3 і 2. Як ми виконали додавання? – до числа 5 додали спочатку перший доданок суми 3, а потім до одержаного результату додали другий доданок 2.

Спробуємо спочатку покласти у коробку 2 олівці, а потім 3. Скільки олівців стане у коробці, якщо туди покласти спочатку 2 олівці? – 7. Докладемо у коробку ще 3 олівці. Скільки олівців стане у коробці? – 10. Під першим записом на дошці повинен з’явитися такий другий: 5+(3+2)=(5+2)+3=7+3=10. Чи однакова кількість олівців знаходиться у коробці, якщо ми спочатку поклали туди 2 жовтих, а потім 3 синіх олівці? – однакова, по 10. Як ми додавали до числа 5 суму чисел 3 і 2 у другому випадку? – до числа 5 додали спочатку другий доданок число 2, а до одержаного результату додали перший доданок 3. Чи при цьому змінилися у нас сума? – ні. Давайте тепер спочатку знайдемо суму чисел, які стоять у дужках, а потім одержаний результат додамо до числа 5. Запишемо проведені обчислення так: 5+(3+2)=5+5=10. Як ми виконували обчислення у цьому випадку? – спочатку знайшли суму чисел, які стоять у дужках і одержаний результат додали до числа 5. Чи такий самий результат ми одержали у третьому випадку? – так, 10.

Після цього пропонуємо дітям порівняти наявні на дошці три записи і пропонуємо сформулювати правила додавання суми до числа (діти повинні сформулювати всі три правила!). Чи можете ви серед трьох способів вказати найзручніший? – так, це третій. Після цього аналогічно розглядаються ще кілька подібних прикладів на додавання суми до числа і формулюються відповідні висновки. Приклади слід підбирати так, щоб зустрічалися різні варіанти найзручніших способів. З метою засвоєння правила учням пропонуємо виконувати завдання різними способами і обирати серед них найзручніший. Коли діти засвоять це правило, то можна переходити до розгляду обчислювального прийому, який на ньому ґрунтується.

Ознайомлення з переставною властивістю додавання можна провести так: пропонуємо дітям викласти на парту 5 синіх і 3 жовтих кружечка. Спочатку пропонуємо їм присунути до синіх кружечків жовті та знайти загальну кількість кружечків. На дошці з’явиться запис: 5+3=8. Після цього пропонуємо дітям до синіх кружечків присунути жовті і знайти загальну кількість кружечків. Проведена робота завершиться записом 3+5=8. Далі проводимо з дітьми таку бесіду: що можна сказати про відповіді в обох прикладах? Вони однакові. Що можна сказати про доданки в обох прикладах? – вони однакові. Чим відрізняються приклади? – в них доданки переставлені місцями. Чи змінилася сума від перестановки доданків? – ні. У математиці існує переставний закон додавання: від перестановки доданків сума не змінюється. Пропонуємо дітям повторити цей закон. Далі аналогічно слід розглянути ще кілька подібних вправ, щоразу формулюючи відповідний закон. Узагальненням проведеної роботи повинен стати символічний запис цього закону: а+в=в+а. Засвоївши цей закон, діти застосовують його до раціональних обчислень у випадках виду 7+92, 5+9 тощо. Досвід роботи вчителів свідчить, що дуже корисно при введенні цього закону використати практичну роботу, під час якої одному учневі пропонується з одного кутку класу до 5 предметів перенести по одному 3, а іншому – до 3 предметів перенести по одному 5. Після цього запропонувати підрахувати загальну кількість предметів. Використання такого прийому покаже учням практичну цінність переставного закону не лише для математики, але й для практичної діяльності людини.

Поиск по сайту: