Модуль 3. «Теоретико-методичні основи вивчення арифметичних дій над цілими невід’ємними числами в курсі математики початкових класів.»

Змістовний модуль 3.3. (ЗМ ₃₃ ): «Теоретико-методичні основи вивчення множення та ділення цілих невід’ємних чисел в межах ста».

ПЛАН.

Загальні теоретико-методичні основи вивчення множення та ділення цілих невід’ємних чисел. Теоретико-методичні основи недоліків у знаннях, уміннях і навичках учнів при вивченні множення і ділення, їх причини та шляхи подолання.

Теоретико-методичні основи початкового ознайомлення учнів з діями множення та ділення.

Теоретико-методичні основи вивчення табличних випадків множення та ділення.

Теоретико-методичні основи вивчення особливих випадків множення та ділення з числами 1, 0, 10 тощо.

Теоретико-методичні основи вивчення позатабличних випадків множення та ділення.

Теоретико-методичні основи вивчення ділення з остачею.

Теоретико-методичні основи вивчення письмових прийомів множення та ділення у межах ста.

Загальні теоретико-методичні основи вивчення множення та ділення цілих невід’ємних чисел. Теоретико-методичні основи недоліків у знаннях, уміннях і навичках учнів при вивченні множення і ділення, їх причини та шляхи подолання.

1. У попередньому розділі, розглядаючи ТМО недоліків при вивченні нумерації цілих невід’ємних чисел, ми зазначали, що проводили це, аналізуючи матеріали Міністерства освіти і науки України з перевірки стану викладання та рівня математичних знань, вмінь і навичок молодших школярів, вивчаючи матеріали фронтальних перевірок шкіл, які здійснюються органами освіти на місцях. Крім цього, ми спостерігали за уроками математики у початкових класах, вивчали досвід роботи вчителів, проводили анкетування та бесіди з вчителями початкових класів, аналізували продукти діяльності учнів і вчителів (письмові роботи, конспекти уроків, дидактичні матеріали, наочні посібники тощо).

Дані програмно-методичного відділу Міністерства освіти та науки України, лабораторії початкового навчання та виховання НДІ педагогіки України з перевірки стану викладання та рівня математичних знань, вмінь і навичок молодших школярів, аналіз матеріалів фронтальних перевірок шкіл, які здійснюються органами освіти на місцях, вивчення досвіду роботи вчителів свідчать, що вчителі досягли певних успіхів при формуванні у дітей обчислювальних навичок. Не допустили жодної обчислювальної помилки від 80,5% до 86,0% третьокласників. Так, учні непогано засвоїли табличні випадки множення (88% - 96%) і ділення (67% - 91%), але успішно справляючись із складанням таблиць множення і ділення, вони мають значні труднощі при їх заучуванні напам’ять.

Незважаючи на значні досягнення вчителів при формуванні обчислювальних навичок, не можна не зупинитися на певних недоліках. Так, аналіз вказаних матеріалів, проведені нами дослідження та вивчення методичної літератури свідчать, що приклади без помилок щороку виконують лише понад 40% учнів, у середньому з року в рік третина школярів не справляється з обчисленнями, біля 26% учнів помилилися при визначенні значення математичного виразу, не навчилися правильно добирати дії для розв'язування задач від 3,2% до 8,1% школярів, що свідчить про нерозуміння конкретного смислу арифметичних дій. На жаль, спостерігається негативна тенденція збільшення частки обчислювальних помилок. Так, на основі аналізу вказаних матеріалів ми виявили, що протягом трьох років відсоток помилок характеризується наступними даними: 35,1% - 34,9% – 40,0%. Отже, результати перевірок дозволяють зробити висновок про не дуже високий рівень обчислювальних умінь і навичок у деякої частини учнів. Значна частка помилок припадає на множення і ділення, але особливо багато їх виникає при виконанні письмових обчислень.

Справедливість такого висновку підтверджується наступними даними. При усній перевірці у прикладах на табличне множення та ділення помиляється біля 9% учнів, причому число правильних відповідей значно знижується завдяки таким випадкам множення та ділення як 6·8, 7·9, 56:8 тощо. Помилки при множенні двозначного числа на однозначне допускають від 6,8% до 11.2% школярів, а при діленні двозначного числа на двозначне від 12,1% до 12,4% дітей. При множенні і діленні багатоцифрових чисел на двоцифрове число частка помилок складає 85%, причому більша їх частина припадає на виконання окремих операцій. Спеціальними дослідженнями встановлено, що понад 50% учнів, виконуючи множення багатоцифрових чисел, помиляються у додаванні одноцифрових чисел, особливо у тому разі, коли їх більше трьох. У прикладах на порядок дій помилки допускають від 8,7% до 19,6% школярів. Хоча є школи, в яких з прикладами на обчислення справляється лише від 56 до 90 відсотків школярів. Крім того, на основі вивчення названих матеріалів можна констатувати: ті ж самі недоліки та прогалини у знаннях, уміннях і навичках, що стосуються засвоєння учнями арифметичних дій, повторюються з року в рік і не усуваються протягом тривалого періоду.

З огляду на сказане, особливого значення набуває відшукання відповіді на наступні запитання: які основні причини такого стану справ? Яка причина того, що всі вчителі знають про типові недоліки, але вони не усуваються з року в рік? У чому сутність ТМО їх подолання? Пропонований матеріал не мав би значення, якби не виявлялися недоліки у діяльності вчителів та учнів і не відшуковувалися шляхи їх подолання. Аналіз вказаних матеріалів, психолого-педагогічної та методичної літератури з цього питання, а також наступна класифікація проводилися відповідно до ступеня їх впливу на результати навчального процесу. По-перше, виявлялися загальні недоліки в організації навчального процесу вчителями та визначалися причини їх виникнення; по-друге, досліджувалися недоліки в діяльності вчителів, що детерміновані рівнем їхньої методико-математичної підготовки; по-третє, проводилося вивчення недоліків у засвоєнні учнями арифметичних дій і обчислювальних прийомів; по-четверте, з’ясовувалося питання про причини неподолання прогалин і недоліків у знаннях, уміннях та навичках, що стосуються арифметичної частини курсу; по-п’яте, досліджувалися причини появи та намічалися шляхи усунення недоліків, вказаних у попередніх пунктах. Крім того, названі матеріали аналізувалася нами також з погляду одержання інформації про впровадження у масову практику роботи початкової школи новітніх технологій, зокрема ідей особистісно-зорієнтованого навчання.

Певна характеристика недоліків, що стосуються організації навчання математики молодших школярів, представлена у попередньому розділі. Для того, щоб не повторюватися, ми коротко нагадаємо їхню сутність у тій частині, яка більше відноситься до формування обчислювальних навичок. Так, аналіз вказаних матеріалів дає підстави для таких висновків:

- незначна увага до формування навичок самоконтролю, що стає причиною помилок при виконанні обчислень і не дозволяє своєчасно виявляти помилки дітей;

- необхідність покращання роботи з ліквідації помилок, з перевірки письмових робіт учнів, з усунення прогалин у знаннях, з використання системи домашніх завдань для формування навичок і умінь самостійно виконувати вправи, бо інакше помилки у застосуванні обчислювальних прийомів стають неправильними навичками, які надзвичайно важко ліквідовувати;

- відсутність особистісно-зорієнтованого підходу при виборі фронтальних та індивідуальних форм роботи з дітьми, при організації повторення, при виборі методів навчання і учіння, що призводить до прогалин у знаннях середніх і слабших учнів;

- недостатнє використання на уроках тих методів навчання, які сприяють розвиткові творчих здібностей, пізнавальної самостійності, логічного мислення, формуванню прийомів розумової діяльності, що спричиняє гальмування розвитку сильних учнів;

- використання далеко не всіма вчителями наявних у методичній літературі сучасних рекомендацій з організації формування умінь і навичок школярів, про неувагу до узагальнення та систематизації знань учнів, а інколи і про невміння проводити роботу в цьому напрямку тощо.

Таким чином, на основі проведеного аналізу наявних матеріалів можна констатувати, що методико-математична підготовка вчителів початкових класів з необхідністю вимагає оволодіння ними сучасними ТМО формування умінь і навичок школярів. Лише завдяки цьому вчителі зможуть: працювати на перспективу через формування та розвиток мислительних операцій (спостереження, порівняння, аналіз, синтез, узагальнення тощо); створювати належні умови для самостійного пошуку учнями раціональних прийомів обчислень; зрозуміти зміст кожної вправи підручника чи методичного посібника, використовуючи закладені в них можливості для досягнення розвивальних результатів та особистісної спрямованості при навчанні математики молодших школярів тощо. Все сказане свідчить про необхідність докорінної зміни педагогічної позиції вчителя у спілкуванні з учнями на уроці, подолання значної розбіжності між результатами роботи найкращих вчителів і станом масового педагогічного досвіду.

Спостереження за уроками вчителів початкових класів, аналіз вказаних матеріалів свідчать, що до основних недоліків у їхній роботі з формування обчислювальних навичок слід віднести принаймні наступні:

1) недостатню увага до засвоєння дітьми таблиць арифметичних дій, особливо таблиць віднімання та ділення;

2) незначний час уроку (до 10%), що виділяється для самостійної роботи учнів з формування відповідних обчислювальних прийомів;

3) необґрунтований обсяг тренувальних вправ, який повинен визначатися відповідно до індивідуальних особливостей дітей;

4) недостатнє застосування вправ з обмеженим часом для їх виконання, без яких важко сформувати відповідні уміння та навички;

5) при проведенні підготовчої роботи до введення нового обчислювального прийому основна увага звертається на повторення теоретичної основи нового обчислювального прийому, але недостатньо повторюються уміння виконувати всі операції, які входять до нового прийому (вони повторюються у тому вигляді, в якому застосовувалися раніше, а не в тому, в якому застосовуватимуться у новому обчислювальному прийомі);

6) при ознайомленні з новим обчислювальним прийомом мало часу відводиться підготовчим вправам, які допоможуть учням самостійно відкрити новий обчислювальний прийом, та не завжди при цьому використовуються рекомендовані наочні посібники;

7) недостатнє використання при первинному закріпленні алгоритмічних приписів, які допомагають засвоїти операції та їх послідовність (вчителі не вчать дітей користуватися ними, використовують власні приписи, які недосконалі);

8) при розкритті суті обчислювального прийому не приділяється належної уваги умовам його використання за певних умов;

9) працюючи над помилками, вчителі не вміють передбачити можливі ускладнення, виконати швидкий аналіз неправильного розв’язання, відтворити при цьому хід міркувань учнів, правильно встановити причину помилки учня та відповідно до цього обрати відповідні вправи для попередження і виправлення помилок.

Одним із завдань вчителя є формування знань, умінь і навичок учнів, але чи не найважливішим напрямком їхньої роботи визнається виявлення недоліків у навчальній діяльності учнів і пошук шляхів їх подолання. Значна кількість помилок при виконанні арифметичних дій спричинена недостатньою міцністю сформованих обчислювальних навичок і великою кількістю мислительних операцій, які доводиться при цьому виконувати. Так, досить часто учні намагаються автоматично застосовувати правила раніше, ніж зрозуміли й засвоїли суть тієї чи іншої операції. Це є також наслідком недостатнього обсягу тренувальних вправ, використаних на уроці при первинному закріпленні. Якщо ж при цьому у вчителя погано поставлена робота з виявлення рівня засвоєння навчального матеріалу безпосередньо на уроці, несвоєчасно виявляються прогалини у знаннях, не з’ясовані причин їх появи в учнів, то, як правило, помилки не тільки не усуваються, але й створюються відповідні умови для їхнього закріплення. Встановлено, що це пояснюється надмірним захопленням фронтальним опитуванням, недостатньою роботою певної частини вчителів з аналізу помилок, недооцінкою ролі самостійної роботи школярів і недостатністю відведеного на неї часу.

На основі результатів проведених нами теоретичних і практичних досліджень можна впевнено констатувати, що типовими помилками при засвоєнні школярами конкретного змісту дій множення і ділення та при формуванні навичок виконувати ці дії над числами є принаймні наступні:

1) неусвідомлення конкретного змісту дій множення і ділення, що проявляється при обчисленні суми однакових доданків (наприклад, 3·9=28), при встановленні числа однакових доданків (наприклад, 8·5=32), у нерозумінні конкретного смислу компонентів дій (наприклад, 7·9=61, коли учень взяв число 7 доданком 10 разів, одержав 70, а потім відняв від 70 не 7, а 9). Для попередження і подолання помилок цієї групи слід виконувати достатню кількість вправ на розкриття конкретного змісту дій множення і ділення (заміна суми однакових доданків добутком, заміна добутку сумою однакових доданків тощо), проводити обговорення неправильно розв’язаних прикладів до того, як учні почнуть допускати помилки, заучування напам’ять табличних випадків множення та ділення тощо.

2) недостатнє заучування напам’ять таблиць множення і ділення, причиною чого є, по-перше, великий обсяг тих випадків множення і ділення, які зразу пропонуються учням для запам’ятовування (з метою подолання вказаного недоліку слід відповідно до індивідуальних особливостей дітей пропонувати їм запам’ятовувати таблиці множення і ділення не повністю, а частинами, причому не завжди у тій послідовності, як вони представлені у таблицях), а по-друге, наявність важких для запам’ятовування табличних випадків множенні і ділення (проведені дослідження свідчать, що до них відносять добутки чисел, більших п’яти, наприклад, 6·6, 6·8, 6·9, 7·7 тощо; добутки з рівними значеннями, наприклад, 2·9 і 3·6, 6·4 і 8·3 тощо; добутки, значення яких розміщені близько у натуральному ряді чисел, наприклад, 6·9=54 і 7·8=56 тощо; випадки ділення виду 54:9=7, 24:8=4 (причиною яких є погане запам’ятовування відповідних важких випадків множення). Щоб попередити та усунути вказані помилки, слід частіше включати ці випадки в усні та письмові вправи та вивішувати їх у класі для зорового сприймання та запам’ятовування. Випадки табличного ділення слід включати в усні вправи частіше, ніж випадки табличного множення.

3) змішування дій множення та ділення 8·2=4, 6:3=18, які є результатом неуважності дітей (їх попередження та усунення відбувається з використанням тих же методичних прийомів, що і при додаванні та відніманні. Спробуйте пригадати яких?);

4) змішування випадків множення і ділення з числами 1 і 0, наприклад 8·0=8, 5·1=0, 0:9=9 (для їх попередження слід використовувати спеціальні вправи на порівняння випадків, які змішуються);

5) змішування прийомів позатабличного множення і ділення з прийомами додавання, наприклад 35·2=30·2+5=65 або 68:2=60:2+8=38. Це пояснюється тим, що діти плутають властивості та правила додавання і множення (для попередження та усунення таких помилок слід пропонувати: а) розв'язування з детальними записами і поясненнями пари прикладів виду 16·4 і 16+4, 36:3 і 36+3, виявляючи істотну відмінність в прийомах; б) обговорення неправильних розв’язувань так, щоб учні, по можливості, самі знаходили помилки та пояснювали суть неправильного розв'язування; в) виконувати перевірку розв'язування прикладів на позатабличне множення діленням добутку на один з співмножників, а ділення – або множенням частки на дільник, або діленням діленого на частку, причому перевірку корисно виконувати переважно усно; г) докладне їх пояснення, що супроводжуватиметься розгорнутими записами);

6) змішування прийомів позатабличного ділення, наприклад: 88:22=44, 36:12=33, коли діти замість прийому підбору частки використовують прийом ділення двозначного числа на однозначне, а тому ділять десятки на десятки, а одиниці на одиниці (для попередження таких помилок слід пропонувати для одночасного розв'язування приклади виду 88:22 і 88:2, порівнюючи не тільки самі приклади, але й прийоми їх обчислення. Доцільно також проводити обговорення неправильно розв’язаних прикладів, виявляючи при цьому помилку);

7) помилки у табличних випадках множення і ділення, коли вони є операціями у випадках позатабличного множення і ділення, наприклад: 19·3= (10+9)·3=10·3+9·3=30+24=54, 72:4=(40+32):4=40:4+32:4=10+6=16 (для попередження і усунення таких помилок потрібна індивідуальна робота з учнями, які їх допускають);

8) помилки при ділення з остачею, які обумовлені неправильним виділенням числа, яке ділять на дільник, наприклад: 65:7=8(ост.9) (для попередження та усунення таких помилок слід: розглядати вправи на виявлення помилок при розв’язуванні прикладів виду 43:7=5(ост.8); проводити обговорення помилок; навчати дітей виконувати перевірку розв’язання прикладів на ділення з остачею шляхом порівняння остачі і дільника та шляхом додавання до добутку частки і дільника остачі);

9) неправильний запис неповних добутків при письмовому множенні на двозначне та тризначне число (див. приклад 1 у таблиці № 8.24.). Для попередження та усунення таких помилок слід добиватися: засвоєння учнями правила запису другого та третього неповного добутку; проводити при ознайомленні з обчислювальним прийомом розгорнуте пояснення; вимагати від учнів такого пояснення, причому на перших уроках можна для деяких учнів дозволяти писати нулі у кінці другого чи третього неповного добутку; розбирати неправильно розв’язані прикладів; виконувати перевірку спочатку прикидкою, а потім і з допомогою ділення добутку на один з співмножників);

10) помилки у підборі цифр частки, які можуть проявлятися в одержанні лишніх цифр у частці (див. приклад 2 у таблиці № 8.24.) або у пропуску цифри 0 у частці (див. приклад 3 у таблиці № 8.24.) (для попередження та усунення таких помилок необхідно: привчати учнів виконувати ділення з встановлення кількості цифр у частці; проводити аналіз і обговорення неправильно розв’язаних прикладів, причому слід звертати увагу дітей на те, що неповних ділених повинно бути стільки, скільки цифр у частці; використання такої форми запису, яка представлена у таблиці № 8.24. (див. пр.4);

11) змішування усних прийомів множення на двозначні розрядні та нерозрядні числа, наприклад: 34·20=34·2+34·10=68+340=408 (для попередження та усунення цих помилок необхідно: порівнювати та встановлювати їхні відмінні та спільні риси; проводити перевірку розв’язання способом прикидки);

12) змішування усних прийомів ділення на розрядні числа і множення на двозначні нерозрядні числа, наприклад: 420:70=420:10+420:7=42+60=102 (для попередження та усунення таких помилок потрібно: проводити порівняння прийомів для відповідних випадків ділення і множення, наприклад: 420:70 і 42·17; встановлювати істотні відмінності між ними; аналізувати розв’язання прикладів, в яких допущені помилки);

13) при письмовому множенні і діленні помилки виникають у табличних випадках множення і ділення, що пояснюється або неуважністю, або недостатнім запам’ятовуванням табличних випадків (для усунення таких помилок слід: проводити індивідуальну роботу з окремими учнями із заучування таблиць множення; частіше включати табличні випадки множення і ділення в усні вправи);

14) помилки, обумовлені неуважністю учнів, які можуть проявлятися в пропуску окремих операцій, наприклад 7200:9=8, 9000·7=63, чи у змішуванні арифметичних дій, наприклад 320:80=25600 (для їх усунення необхідно: використовувати аналіз цих прикладів до їх розв'язування; виконання перевірки прикладів);

15) при виконанні ділення одержується остача, яка перевищує дільник, хоча діти добре знають, що остача повинна бути меншою дільника (у цьому разі яскраво виражений розрив між наявністю теоретичних знань і вміннями застосовувати їх при розв’язуванні конкретних вправ. Позбутися цього недоліку допоможе неухильна вимога: перевіряти ділення множенням і супроводжувати ділення поясненням).

Таблиця № 8.24.

Приклад 1	Приклад 2	Приклад 3	Приклад 4
564·32=1128+1692= 2820	1508 26 - 104 418 -26 -208	30444 43 -301 78 -344	30444 43 - 301 708 34 -344

На основі результатів проведених нами досліджень можна констатувати, що до найпоширеніших помилок при діленні багатоцифрових чисел слід віднести принаймні ті, які представлені у таблиці № 8.25.: у першому прикладі учень зразу зносить дві цифри (24), а тому пропускає цифру частки, у другому – не звертає уваги на те, що остача вийшла більшою, ніж дільник, у третьому – забуває знести нуль у частку. Причина подібних помилок полягає у недостатньому засвоєнні учнями операції ділення, у невмінні визначати найвищий розряд частки.

Таблиця № 8.25.

Приклад 1	Приклад 2	Приклад 3
8124 3 -6 278 - 21 - 24	12375 25 -100 4815 - 200 - 25 - 125	32600 4 - 32 815 - 4 - 20

Однією з розповсюджених помилок слабовстигаючих учнів при діленні багатоцифрових чисел на однозначне число є пропуск нуля у частці. Основними причинами помилок, які полягають у пропусканні цифр частки та в одержання лишніх цифр у частці, є:

1) невміння учнів свідомо визначати кількість цифр у частці;

2) наявне у більшості учнів уявлення про те, що менше число не ділиться навіть з остачею на більше число, а отже, і частки у цьому випадку не буде;

3) формальне засвоєння способу утворення неповних ділених;

4) відсутність знань про те, що кожне неповне ділене обов’язково дає цифру частки у відповідному розряді. Щоб попередити такі помилки слід використовувати такі вправи: 25:25=1, 28:25=1(ост.3), 0:28=0, 25:28=0(ост.25), 152:200=0(ост.152).

Вище ми вказали лише частину помилок, які допускаються учнями при вивченні ними арифметичних дій над цілими невід’ємними числами. Аналіз інших помилок та ТМО їх попередження та усунення будуть висвітлені у наступному викладі. Разом з тим, зазначимо, що проведені дослідження обґрунтовано переконали нас: вагомим фактором повторення одних і тих же самих помилок учнів із року в рік є недостатнє використання у навчальному процесі особистісно-зорієнтованого навчання. Для його впровадження у практику роботи вчителів слід висвітлити ТМО такої форми організації навчального процесу. При цьому ми виходили з наступного концептуального висновку: недосконалі способи діяльності вчителів формують такі ж недосконалі способи діяльності учнів. Саме висвітленню ТМО особистісно-зорієнтованого формування у школярів уявлень про арифметичні дії над цілими невід’ємними числами і формування обчислювальних прийомів буде присвячено наступний параграф.

Поиск по сайту: