Теоретико-методичні основи початкового ознайомлення школярів з діями множення і ділення

8.11. Одними з основних завдань ознайомлення молодших школярів з арифметичними діями є формування уявлень про конкретний зміст цих дій та про взаємозв’язок між ними. У математиці дію множення можна трактувати по-різному: і як чисельність декартового добутку множин, і як результат вимірювання величин, коли відбувається перехід від крупніших до дрібніших одиниць її вимірювання, і як знаходження суми однакових доданків. Серед цих трактувань з методичних міркувань у нині діючих підручниках М.Богдановича обрано останнє. Отже, теоретичною основою дії множення є знаходження суми однакових доданків.

Засвоєння дітьми змісту того чи іншого математичного засобу слід розпочинати з розуміння його необхідності, корисності. Недостатня увага до цього є однією з причин формалізму у знаннях учнів, який підсилюється завдяки недостатній увазі до мотивації навчальної діяльності кожного школяра у відповідності з його потребами. Таким чином, з самого початку слід показати дітям, що математичні поняття обумовлені потребами життя. Дослідженнями психологів доведено, що людина, як правило, запам’ятовує лише те, що їй цікаво, і тільки те, що має для неї особистісну значимість. Так, наприклад, при введенні множення слід показати корисність і зручність об'єднання предметів у рівночисельні групи і запропонувати виконати таку операцію самостійно.

Психологами і методистами доведено, що кожне нове математичне поняття дитина спроможна засвоїти лише за умови безпосереднього сприймання предметів або їх зображень і виконання практичних дій з ними за зразком вчителя. Саме тому, розкриваючи конкретний зміст дій множення чи ділення, вчителеві слід забезпечити умови для такого використання наочності. Крім того, вчителі, ознайомлюючи учнів з дією множення, повинні не забувати про типові помилки при розкритті його конкретного змісту з метою створення умов для їх попередження. Спостереження за роботою вчителів, аналіз психолого-педагогічної та методичної літератури дозволяють віднести до них помилки:

- при знаходженні результату множення додаванням;

- при обчисленні суми однакових доданків, наприклад: 3·9=28;

- помилки, пов’язані з встановленням числа однакових доданків, наприклад, 8·5=32 (знайдено суму не п’яти, а чотирьох доданків);

- помилки, обумовлені нерозумінням змісту компонентів множення, наприклад, 7·9=61 (учень взяв число 7 доданком 10 разів, одержав 70, а потім відняв від 70 не 7, а 9).

Щоб попередити появу вказаних помилок, вчитель зобов’язаний при ознайомленні з конкретним змістом дії множення забезпечити:

1) різноманітність роздаткового матеріалу, що використовується;

2) виконання достатньої кількості вправ на заміну суми однакових доданків добутком і на заміну добутку сумою однакових доданків;

3) навчання учнів обґрунтуванню своїх дій при виконанні вказаних вправ;

4) виконання завдань, в яких обговорюються неправильно розв’язані приклади ще до того, як школярі почнуть допускати помилки;

5) створення умов для заучування напам’ять табличних випадків множення та ділення, ще до того, як вони розглядатимуться.

Психологами доведено, що молодшим школярам властиво не утримувати в пам’яті одночасно ціле та його частини, а тому коли вони оперують з частинами, то не бачать перед собою всього цілого та навпаки. Досить часто наслідком цього стає те, що учні не розуміють конкретного змісту арифметичних дій. Завданням вчителя повинна бути така організація навчального процесу, при якій у відповідності з індивідуальними особливостями дітей слід допомогти їм усвідомити цей зв’язок.

При формуванні конкретного змісту дії множення чи ділення важливо варіювати неістотне по відношенню до цих операцій. Насамперед, це різноманітні групи предметів та їх зображення, різноманітний лічильний матеріал, а також ситуації, які описують виконання операцій. Спочатку використовуються слова, які прямо вказують на операцію (по скільки предметів у кожній групі), потім включаються завдання, в яких операції над множинами задаються опосередковано (На столі стояло п’ять ваз. У кожній вазі стояло по три квітки. Скільки всього квітів було у вазах?), і, нарешті, виконувана операція задається у непрямій формі (У кожній з п’яти ваз було три квітки. Скільки всього квітів було у вазах?).

Дуже корисно, крім названих вправ, включати завдання на складання самими учнями вправ, аналогічних наведеним. Доцільно супроводжувати вказані вправи практичним виконанням операцій над такими ж об’єктами або їх замінниками, бо це дає можливість створити в уяві дітей предметну модель операції, яка в майбутньому буде вказувати на зв’язок з дією. Разом з тим, практичне виконання операцій над групами предметів повинно завершуватися відповідним словесним виразом, яке у подальшому стане головним показником зв'язку між виконаною операцією і арифметичною дією. Сполучення образу (предметної моделі) і слова буде вказівкою для вибору арифметичної дії.

Первинний етап закріплення можна вважати, як свідчить досвід вчителів, завершеним, якщо учні при виконанні наведених вправ зможуть самостійно практично виконати відповідні операції, супроводжуючи свої дії словесними міркуваннями. У подальшому для засвоєння конкретного змісту дії множення слід пропонувати вправи, в яких учні від предметних ситуацій переходять до запису та навпаки – від запису до ситуації. Такий висновок підтверджується аналізом наявної у підручнику системи вправ. Так, у ньому є:

- вправи, в яких передбачено перехід від малюнку чи створеної предметної ситуації до формули (наприклад: ¤¤¤ ¤¤¤ ¤¤¤ ¤¤¤ ¤¤¤ 3+3+3+3+3=3·5=15);

- завдання, в яких пропонується зробити малюнок до сюжету, а вже потім записати дію (наприклад, на кожній гілочці є по дві вишеньки. Скільки вишеньок на чотирьох гілочках?).

Але, на жаль, робота з переходу від формули, до предметної ситуації не передбачається зовсім. Результати проведених досліджень свідчать, що для деяких дітей слід пропонувати наступні вправи:

1) виявилося, що кількість вікон у будинку зручно підрахувати так 6·4. Намалюйте такий будинок, не забуваючи, що на уроці математики нас цікавить більше розміщення вікон, ніж красота будинку;

2) на тарілках лежать яблука, які зручно підрахувати так 4·3. Розкладіть на парті палички так, як лежать яблука. Змініть свій малюнок так, щоб кількість яблук виражалася виразом 5·3;

3) намалюйте прапорці, до яких підходить вираз 6·3;

4) намалюйте предмети уявно до запису 4·5.

Використання таких вправ дозволяє усвідомити умови використання дії множення, глибше зрозуміти зміст дії, попередити помилки, обумовлені нерозумінням розподілу функцій між двома множниками. Доцільність використання саме такої системи вправ обґрунтована висновком психологів і методистів про необхідність формування математичних понять з використанням якомога більшої кількості відповідних ситуацій, що описують конкретний зміст дії та у взаємозв’язку один з одним, бо вони залежать одне від одного.

Особистісна зорієнтованість у формуванні конкретного змісту цих дій повинна проявлятися в тому, що у відповідності з індивідуальними особливостями одній групі школярів пропонуватимуться приклади і задачі, однотипні з розглянутими зразками. У цьому випадку навчальна діяльність спрямовується на формування зразка виконання операції, на відтворення практичної навички чи алгоритмів, на виконання аналогічних перетворень у тих самих умовах тощо. Для інших дітей потрібен вищий рівень складності навчально-тренувальних вправ. Цього можна досягти, коли система вправ міститиме приклади і задачі, для розв’язання яких вимагається не просте копіювання зразків, а застосування знань у різноманітних умовах. У таких випадках учням доводиться користуватися не лише новим, але й набутим раніше багажем знань, вмінь і навичок. Для сильних учнів дуже важливо для створення найкращих умов для їхнього розвитку у завершальний момент запропонувати комплекс вправ, що складається з всіх видів завдань, серед яких повинні бути такі, які допускають кілька варіантів чи зразків розв'язування прикладів і задач.

Особистісна спрямованість навчального процесу проявлятиметься в тому, що для учнів відповідно до їхніх індивідуальних особливостей вчитель пропонуватиме зразки виконання завдань. Їх поділяють на зразки виконання завдання по суті та на зразки оформлення розв’язання вправи. Перші з них доцільніше використовувати тоді, коли відбувається первинне закріплення, а другі – на етапах закріплення, повторення, узагальнення знань. Перші називають зразками-помічниками, а другі – зразками-інструкціями. Отже, для учнів, рівень математичної підготовки яких не досить високий, вчитель повинен тривалий час пропонувати завдання, що вимагають відтворення потрібного зразка обґрунтування і виконання вправ, нерідко з безпосереднім звертанням до дидактичного матеріалу. Завдяки такому підходу учні будуть змушені шукати відповідь шляхом міркувань і наслідувань, які спираються на образ (роздатковий матеріал), і досягати засвоєння логічних процесів, які сприятимуть як розумінню нового, так і розвитку мислення. Для сильних учнів основну увагу слід приділяти вправам, які вимагають порівняння, аналізу, узагальнення, систематизації, самостійного відшукання зв’язків, які існують.

Для особистісної зорієнтованості процесу розкриття конкретного змісту дії множення можна використовувати відповідно до індивідуальних особливостей дітей наступні допоміжні елементи:

1) частково виконане розв’язання, коли учень ще не засвоїв спосіб виконання нової дії;

2) зразки міркування, коли дитина ще не засвоїла хід міркування, який повинен привести до розв’язання;

3) довідкові матеріали;

4) вказівки.

Для особистісної спрямованості домашніх завдань слід визначити мету кожного завдання, враховуючи індивідуальні особливості школярів, причому домашні завдання можна індивідуалізувати і за метою, і за способом виконання.

Проведені дослідження переконливо довели необхідність самоконтролю для особистісної зорієнтованості навчального процесу. Він забезпечує свідоме і правильне виконання кожної операції, запобігає помилкам, дає змогу вчасно виявити їх, стає загальними вміннями особистості, важливими для будь-якого виду навчальної і практичної діяльності. Відповідно до індивідуальних особливостей школярів головним у навчанні самоконтролю є організація систематичного використання різноманітних за формою та змістом вправ, які орієнтуватимуть дітей на перевірку і контроль результатів діяльності як під час ознайомлення з новим, так і в ході його закріплення. Учитель повинен заздалегідь підібрати потрібні завдання, продумати методику вправлянь, передбачаючи різні способи самостійної перевірки учнями роботи.

Розкриття конкретного змісту дії множення для деяких учнів полегшиться, якщо алгоритмізувати їхню діяльність. У математиці значна частина завдань розв’язується на основі певних правил: виконання арифметичних дій, розв'язування рівнянь і нерівностей, обчислення значень виразів, знаходження довжини відрізка, периметра і площі многокутників. Дослідження психологів показують, що навчання алгоритмічній діяльності передбачає розгорнутий хід міркувань, а переходи від одного кроку до іншого вимагають міркування і обдумування. Кожний крок здійснюється у результаті глибокого осмислення теоретичного положення, яке лежить в його основі. У процесі подальшого навчання структура міркувань набуває наступних змін:

- відбувається об'єднання окремих ланок в одну цілу дію, а переходи від однієї ланки до іншої відбуваються все легше та вільніше;

- обгрунтовуюча частина міркувань стає все менш розгорнутою, судження учнів все більш лаконічними, висвітлюючи лише саму суть того, що регулює дія;

- процес міркування максимально згортається, дії йдуть одна за одною без роздумів, але автоматизація розумових дій не означає зведення мислення до навички;

- у процесі розв'язування нових завдань, які вимагають застосування знань у нових умовах, до зміненого матеріалу, міркування знову набувають розгорнутих форм. Засвоїти операції та їх послідовність допомагають алгоритмічні приписи.

Експериментальними дослідженнями доведено, що показником усвідомлення учнями конкретного змісту дій є уміння практично виконати операцію над множинами, вибрати потрібну арифметичну дію та навести відповідне міркування. На етапі закріплення учні повинні навчитися самостійно пов’язувати операції над множинами з відповідними діями спочатку в результаті практичного виконання операцій, а потім за уявленням. Якщо при розв’язуванні задач відбувається перехід від операцій над множинами до арифметичних дій над числами, то при розв’язуванні прикладів, навпаки, від арифметичних дій над числами до операцій над множинами, чим забезпечується краще засвоєння знань, що формуються. Ознайомлення дітей з діями множення і ділення проводиться на першому етапі окремо, бо на цьому етапі головним є не розкриття взаємозв’язку між ними, а розкриття конкретного змісту кожної з цих дій. Результатом проведеної роботи повинно стати:

1) засвоєння школярами зв’язку між додаванням і множенням, між множенням і діленням;

2) розуміння змісту кожного компоненту дій (наприклад, перший співмножник показує, яке число береться доданком, а другий – скільки є таких доданків).

Як же проводиться ознайомлення молодших школярів з дією множення? – на спеціально відведеному для цього уроці, коли вчитель пропонує розглянути малюнок підручника чи таблиці, на якому зображено кілька однакових за чисельністю груп предметів.

Наприклад, розглядаючи таблицю № 8.26., проводимо з учнями приблизно таку бесіду: які геометричні фігури зображено на таблиці? – квадрати. Як розміщені квадрати? – групами до два. Скільки є груп квадратів? – п’ять. Як обчислити, скільки всього є квадратів? – 2+2+2+2+2=10. Чим цікава ця сума? Що можна сказати про доданки цієї суми? – вони однакові. Скільки є таких однакових доданків? – п’ять. Отже, тут взяли по 2 п’ять разів. Чи зручно так проводити обчислення? – ні. Відповідно до індивідуальних особливостей учнів розглядаємо так само кілька аналогічних вправ, але збільшуючи при цьому рівень самостійності учнів. Після виконання вправ вчитель повідомляє, що у математиці додавання однакових доданків називається множенням, а суму однакових доданків по-іншому записують так 2·5=10. Крапка · - це знак множення. Число 2 у даному записі показує, які доданки додавали, а число 5 – скільки їх було. Приклади на множення читають так: по два взяти п’ять разів. Після цього пропонуємо учням кілька завдань на читання прикладів на множення, наприклад: прочитайте приклади на множення 3·4, 7·5, 6·9. Після того, як діти навчаться читати приклади на множення одним способом, поступово вводять інші способи читання. Наприклад, другим може бути такий 2 помножити на 5 буде 10. При читанні прикладів необхідно запитати дітей: що означає число 6 в останньому записі? – кожний доданок дорівнює 6. Скільки є таких доданків? – 9.

Таблиця № 8.26.

Які ж вправи використовуються для формування уявлень школярів про конкретний зміст дії множення? – аналіз системи вправ підручника та методичних посібників для вчителів свідчить, що з цією метою використовуються наступні завдання:

- заміни приклади на додавання прикладами на множення, наприклад 3+3+3+3 – які доданки в цьому прикладі? – однакові. Скільки таких доданків? – чотири. Чи можна замінити цей приклад на додавання прикладом на множення? – так. Як це зробити? - 3·4. Що означає число 3 у цьому записі? – що кожний доданок дорівнює 3. Що показує число 4 у цьому записі? – що число 3 доданком взято чотири рази;

- заміни приклади на множення прикладами на додавання, наприклад: 2·4, 3·2, 7·3 тощо. З учнями слід провести таку роботу: що означає число 7 у цьому записі? – кожний доданок дорівнює 7. Скільки є таких однакових доданків? – три. Як це записати за допомогою додавання? – 7+7+7. Знайдіть суму! – 21. Як записати приклади? – 7+7+7=21 чи 7·3=21;

- розв'язування задач за малюнком з наступним записом представленої на ньому конкретної ситуації додаванням і множенням;

- прочитай приклади на множення і перевір відповіді додаванням, наприклад 2·6=12, 2+2+2+2+2+2=12. Як записати цей приклад у вигляді суми? - 2+2+2+2+2+2. Чому саме так Ви записали результат? – бо перше число 2 показує, що доданком слід взяти число 2, а таких доданків буде 6;

- де можна, заміни приклади на додавання прикладами на множення, наприклад 15+15+15+15, 23+32, 9+9+3 тощо (дидактична мета таких прикладів полягає в тому, що з їх допомогою можна одержати інформацію про усвідомлення учнями конкретного змісту дії множення). При виконання таких завдань необхідно вимагати від школярів пояснень, які можуть бути приблизно такими: у першому прикладі є сума чотирьох доданків, кожний з яких дорівнює 15, а тому цю суму можна замінити добутком так 15·4. У третьому прикладі маємо суму трьох доданків, але лише два з них однакові, а тому замінити цю суму добутком не можна. Якщо деякі учні замінять цю суму добутком 9·3, то це свідчитиме про нерозуміння ними конкретного змісту дії множення;

- яке число береться однаковим доданком? Скільки разів повторюється доданок? Наприклад, 10·3;

- поставте потрібний знак =, <, >: 6·2*6·3, 2+2+2*2·3, 4·5*3·5, 3·6+3*3·7 (зазначимо, що у завдання слід включати приклади не лише з однозначними множниками, але з двозначними, бо це сприятиме кращому усвідомленню конкретного змісту дії множення, наприклад 15·6).

У міру усвідомлення дітьми конкретного змісту дії множення вчитель вводить інші способи читання прикладів на множення. Так, приклад 5·4 учні повинні вміти прочитати такими способами: 1) по 5 взяти 4 рази; 2) 5 помножити на 4; 3) добуток чисел 5 і 4; 4) перший множник 5, другий – 4, добуток 20; 5) 5 збільшити у 4 рази. Такі способи читання вчитель повинен використовувати у своїй мові та поступово привчати учнів застосовувати такі способи читання в їхній мові. Крім цього, такі способи читання повинні використовуватися вчителем при написанні школярами математичних диктантів. Вказані способи читання прикладів на множення слід вводити поступово у відповідності з індивідуальними особливостями дітей. Подальше засвоєння учнями конкретного змісту дії множення відбувається вже при вивченні табличних випадків множення.

Аналіз методичної літератури та наявних підручників з математики для початкових класів різних авторів дозволяє стверджувати, що методисти рекомендують два підходи до ознайомлення дітей з дією ділення. Одна група методистів пропонує для ознайомлення дітей із дією ділення використати задачу на ділення на вміщення, а інша - задачу на ділення на рівні частини. Кожен з цих підходів має позитивні і негативні сторони, але експериментальних досліджень, які б довели беззаперечну перевагу того чи іншого способу, немає. Враховуючи сказане вчитель вправі обрати будь-який з названих підходів. Спостереження за роботою вчителів свідчить, що більшість з них обирають той підхід, який реалізований у діючому підручнику. Разом з тим, спільним в обох підходах є те, що, по-перше, для ознайомлення з дією ділення слід обрати таку задачу, яку було б легко практично проілюструвати; по-друге, через кілька уроків після введення дії ділення з допомогою задачі одного виду вводиться задача іншого виду. Зроблено це для того, щоб не створювати дітям додаткових труднощів при усвідомлення конкретного змісту дії ділення.

Як же проводиться ознайомлення молодших школярів з дією ділення? – з допомогою задачі на ділення на рівні частини (6 груш розклали порівну на 3 тарілки. Скільки груш поклали на кожну з тарілок?) чи задачі на ділення на вміщення (6 груш розклали по 3 на кожну тарілку. Скільки для цього треба тарілок?). Легко бачити, що кожну з цих задач досить просто практично проілюструвати на очах у дітей. Це дасть змогу залучити до формування різні аналізатори. Прочитавши учням, наприклад, першу задачу, вчитель пропонує їм відповісти на такі запитання: скільки є груш? – 6. Як їх треба розкласти? – порівну. На скільки тарілок їх слід розкласти? – на 3. Що необхідно визначити в задачі? – скільки груш буде лежати на кожній з трьох тарілок. Скільки у нас є тарілок? – 3. Скільки візьмемо груш, щоб розкласти по одній на кожну з трьох тарілок? – 3. Візьміть три груші і покладіть по одній на кожну тарілку. Чи залишилися у нас ще нерозкладеними груші? – так. Скільки візьмемо груш, щоб знову розкласти порівну на кожну тарілку? – 3. Чи залишилися у нас ще нерозкладеними груші? – ні. По скільки груш лежить на кожній тарілці? – по дві. Чи порівну груш на кожній тарілці? – так. Чи дали ми відповідь на запитання задачі? – так, бо визначили, що на кожній з трьох тарілок лежатиме по дві груші.

Після того, як учні розв’язали задачу практично, вчитель запитує: А чи може хтось записати розв’язання цієї задачі? – якщо таких учнів не знайдеться, то вчитель повідомляє: ця задача розв’язується з допомогою нової арифметичної дії, яку називають діленням, і показує як записується розв’язання задачі. Розв’язання таких задач будемо записувати так: 6:3=2 (гр.). Важливо, щоб відповідь до цієї задачі була записана так: по 2 груші. Далі вчитель повідомляє, що знак: (дві крапки) називають знаком ділення, а приклади на ділення будемо читати так: 6 поділити на 3 буде 2.

Через кілька уроків залежно від ходу засвоєння учнями змісту першої задачі вводиться задача іншого виду (див. задачу на ділення на вміщення). При цьому вчитель повинен провести таку роботу: скільки було груш? – 6. Як їх треба розкласти? – по 3 на кожну тарілку. Що необхідно визначити в задачі? – скільки для цього потрібно тарілок. Скільки груш візьмемо, щоб покласти на першу тарілку? – 3. Чому ви так вважаєте? – бо так сказано в умові задачі. Чи залишилися у нас ще нерозкладеними груші? - так. Скільки груш покладемо на другу тарілку? – три. Чи є ще у нас груші, які нерозкладені? – ні. На скількох тарілках у нас є груші? – на двох. Чи дали ми відповідь на запитання задачі? – так. Скільки груш у нас було? – 6. Як ми їх розкладали у тарілки? – по 3. Скільки є тарілок, на яких лежать груші? – дві. Як ми поділили 6 груш? – по 3 на 2 тарілки. Чи можете ви записати розв’язання цієї задачі? – якщо учні не запишуть, то вчитель повідомить, що ця задача також розв’язується з допомогою дії ділення так: 6:3=2 (т.).

Для учнів, яким потрібне наочне підкріплення, слід надалі пропонувати розв'язувати задачі на ділення або з використанням малюнків підручника, або з допомогою власних схематичних малюнків. Такий методичний прийом необхідно використовувати доти, доки наочне підкріплення не стане гальмувати розвиток абстрактного мислення. Розв’язуючи задачу на ділення на рівні частини, наприклад “12 квіток поставили порівну у 4 вази. Скільки квіток поставили у кожну вазу?”, вчитель пропонує дітям обвести 12 клітинок, які зображують квітки, та 4 прямокутники, які зображатимуть вази. Після цього учні починають розставляти квітки у вази, міркуючи приблизно так: квітки слід розкласти порівну у 4 вази, а тому беремо зразу 4 квітки і ставимо по одній у кожну вазу. На малюнку 8.3. закреслюємо 4 клітинки, а в кожному прямокутнику обводимо по одній клітинці. Після цього виконуємо аналогічні дії доти, доки не закреслимо всі клітинки. Завдяки цьому на очах у дітей з’явиться малюнок, який ілюструє розв’язання цієї задачі: 12:4=3 (кв.). Відповідь: по 3 квітки.

Поиск по сайту: