ТМО вивчення числових рівностей і нерівностей

3. Що повинен знати вчитель, щоб сформувати у молодших школярів правильні уявлення про числові рівності та нерівності? – ТМО такої роботи. Які підходи існують в математиці до визначення понять “рівність”, “нерівність” – ще з курсу математики нам відомо, що існують два підходи до визначення цих понять: сутність першого, який називають формальним, полягає в тому, що під рівністю (чи нерівністю) розуміють будь-які два числових вирази сполучені знаком “=” (“дорівнює”) чи знаками “<,>” (“менше”, “більше”); при другому підходові, який називають змістовним, вказаними знаками сполучають не будь-які два числових вирази, а лише такі, які перетворюються у правильну рівність чи нерівність. Застосування першого підходу в курсі математики початкових класів є недоцільним з методичної точки зору, бо при цьому б створювалися додаткові труднощі при засвоєнні учнями алгебраїчного матеріалу. Адже в силу конкретності мислення молодших школярів, їм важко уявити та усвідомити зміст записів 3=5, 3>5, 7<2 тощо. Враховуючи сказане, використовують змістовний підхід, який не суперечить науковому трактуванню понять рівності і нерівності. Саме тому знаками “=”, “<”, “>” сполучаються, в основному, тільки такі числові вирази, які є правильними, наприклад: 5+2=7, 5+2<9, 5+2>6. Вирази виду 5+2=8, 5+2<7, 5+2>7 в курсі математики 1–4-х класів не розглядаються, за винятком тих випадків, коли потрібно перевірити правильність обчислення у прикладі. Наприклад: перевірити, чи правильно виконано обчислення 36+25=51. Отже, у молодших школярів спочатку формуються уявлення лише при правильні рівності та нерівності.

Як одержуються рівності та нерівності в курсі математики початкових класів? – на основі порівняння двох чисел, числа і виразу, двох виразів. Враховуючи сутність змістовного трактування понять “рівність”, “нерівність”, знаками “=”, “>”, “<” сполучаються такі два числа, число і вираз, два вирази, між якими такі відношення існують. Завдяки сказаному, учні поступово вводять до свого активного словника терміни “правильна рівність”, “неправильна рівність”, “правильна нерівність”, “неправильна нерівність” замість найбільш вживаних у наукових курсах “істинна рівність”, “істинна нерівність”, “хибна рівність”, “хибна нерівність”. Разом з тим, термін “розв’язати нерівність” в курсі математики початкових класів майже не вживається, бо учні знаходять не всю множину розв’язків нерівностей, а лише окремі елементи цієї множини.

Які ж завдання ставляться щодо ознайомлення учнів початкових класів відносно введення та вивчення числових рівностей і нерівностей? – навчити: 1) школярів відрізняти рівності та нерівності від інших математичних об’єктів; 2) учнів практично оперувати рівностями і нерівностями та виділяти їх серед інших математичних об’єктів; 3) дітей порівнювати два числа, число і вираз, два вирази та записувати результати порівняння, використовуючи знаки “=”, “<”, “>”; 4) школярів переходити від нерівностей до рівності і навпаки; 5) учнів розв’язувати нерівності методом підбору; 6) школярів читати одержані рівності і нерівності.

Як же слід добиватися виконання кожного із вказаних завдань? – при виконанні відповідної системи вправ, яка представлена у підручниках і методичних посібниках для вчителів. Аналіз вказаних джерел дозволяє виділити наступну систему вправ, яка використовується при формуванні уявлень дітей про ці поняття, а саме:

1) завдання, пов’язані із порівнянням множин предметів, яке відбувається на основі встановлення взаємно однозначної відповідності або на основі лічби. При їх розв’язуванні відбувається перехід від рівностей до нерівностей і навпаки;

2) вправи на порівняння чисел, яке відбувається або на основі встановлення взаємно однозначної відповідності між елементами двох множин, або на основі визначення місця числа в натуральному ряді чисел, або на основі знань десяткового складу числа. Всі випадки порівняння записуються з допомогою знаків =, <, >;

3) завдання, пов’язані із порівнянням іменованих чисел, наприклад: 3 дм 5 см * 37 см;

4) вправи на порівняння виразу і числа, наприклад: 20+7*28;

5) завдання, пов’язані із порівнянням двох виразів, наприклад: 20+7*20+6. Таке порівняння учні можуть виконувати двома способами: для слабших учнів це може бути використання обчислень, наприклад: 20+7=27, 20+6=26, 27>26, а тому 20+7>20+6. Сильніші учні міркуватимуть приблизно так: перші доданки рівні, а другий доданок зліва більший, а тому 20+7>20+6. У подальшому відбувається ускладнення числових рівностей і нерівностей, з одного боку, за рахунок розширення числової області, а з іншого - завдяки ускладненню структури виразів, що стоять у лівій і правій частині.

Коли ж діти вперше зустрічаються з числовими рівностями і нерівностями? - при вивченні чисел 1 і 2 (1+1=2, 2>1, 1<2). Таким чином, ознайомлення учнів з рівностями та нерівностями в курсі математики початкових класів безпосередньо пов’язується з вивченням нумерації та арифметичних дій. Отже, фактично саме з цього моменту розпочинається систематична робота із формування уявлень дітей про рівності і нерівності. Ця робота продовжується аж до кінця вивчення курсу математики. З метою формування в учнів уявлень про рівність та нерівність можна використовувати вправи такого виду: 1) заповни віконце ÿ+3=4. Розв’язуючи цю вправу учні міркують так: ÿ+3=4 – це рівність, праворуч від знака рівності якої стоїть число 4, а ліворуч також повинно бути 4. Я знаю, що 4 – це 3 і 1, отже, у віконце слід вписати число 1; 2) встав потрібний знак і число: 5*ÿ=6. Розв’язуючи таку вправу, діти міркують так: 5*ÿ=6 – це рівність, праворуч від знака рівності якої стоїть число 6, а ліворуч також повинно бути 6. Оскільки 6 більше 5 на 1, то до 5 слід додати 1; 3) як зробити, щоб рівність стала правильною? 8=7 ¼ Розв’язуючи такі вправи, учні міркуватимуть так: 8=7 ¼ - це рівність, вона буде правильною, якщо праворуч і ліворуч від знака рівності буде стояти 8. 8 – це 7 і 1, отже, до 7 слід додати 1; 4) постав потрібний знак “=”, “<”, “>”: 3*4. При розв’язуванні таких вправ слід привчати учнів міркувати так: – це нерівність. 3 менше 4, бо число 3 при лічбі йде перед числом 4, отже, замість зірочки необхідно поставити знак <. Для того, щоб краще підготуватися до формування в учнів поняття про рівності і нерівності, пропонуємо студентам виконати завдання №№ 8, 9 для самостійної роботи.

Коли учні приступають до порівняння чисел, числа і виразу, двох виразів? – формування умінь порівнювати розпочинається вже при вивченні нумерації чисел в межах десяти. З цією метою використовуються наступні вправи:

1) завдання на порівняння множин предметів, серед яких можна виділити: а) порівняння множин предметів; б) ілюстрування предметними множинами даної нерівності 4>3; в) завдання на перехід від нерівності до рівності, наприклад: маємо 5<6, що треба зробити, щоб предметів стало порівну?; г) вправи на перехід від рівності до нерівності, наприклад: маємо 5=5, що треба зробити, щоб предметів ліворуч стало більше?; д) вправи на практичне засвоєння властивості симетричності рівності: якщо на столі чашок стільки ж, скільки блюдець, то блюдець стільки ж, скільки чашок; е) завдання на практичне засвоєння властивості антисиметричності нерівності: якщо на столі чашок більше, ніж блюдець, то блюдець менше, ніж чашок;

2) вправи на порівняння чисел, серед яких виділяють: а) завдання, при виконанні яких порівняння чисел відбувається на основі встановлення взаємно однозначної відповідності між елементами двох предметних множин, наприклад: за малюнком, визнач кількість предметів праворуч і ліворуч та порівняй їх; б) вправи на порівняння чисел на основі місця цього числа в натуральному ряді, наприклад: 7<9, бо число 7 при лічбі зустрічається раніше, ніж число 9; в) завдання на порівняння чисел на основі їхнього десяткового складу, яке відбувається в концентрах “Сотня”, “Тисяча”, “Багатоцифрові числа”.

3) завдання на порівняння іменованих чисел, серед яких виділяють: а) порівняння з опорою на самі задані величини, наприклад: на малюнку зображено два відрізки і задано значення їхніх довжин, а учні записують, що 7 см<9 см, міркуючи так: на малюнку видно, що відрізок довжиною 7 см коротший, ніж відрізок довжиною 9 см; б) порівняння іменованих чисел, які виражені в однакових одиницях вимірювання, наприклад: 1 дм 7 см > 1 дм 5 см;

4) вправи на порівняння виразу і числа або числа і виразу, серед яких виділяють: а) порівняння на основі операцій над множинами; б) порівняння на основі обчислення значення виразу, наприклад: 7>5+1, бо 5+1=6, а 7>6;

5) завдання на порівняння двох виразів, яке може відбуватися: а) на основі обчислення значень виразів, наприклад: 7+5>6+4, бо 7+5=12, 6+4=10, а тому 12>10; б) на основі міркувань, наприклад: 8+7<8+9, бо перші доданки однакові, а ліворуч другий доданок менший, ніж другий доданок праворуч (Пропонуємо студентам виконати завдання № 10 для самостійної роботи!).

Досвід роботи вчителів, аналіз методичної літератури свідчать, що з метою особистісної орієнтації навчального процесу, відповідно до індивідуальних особливостей дітей корисно використовувати алгоритми або алгоритмічні приписи, деякі із яких представлені у наступній таблиці № 12.7.

Поиск по сайту: