Смешанные разностно-дифференциальные уравнения

Принимая во внимание тот факт, что скорость роста дохода может определять принятие решений об инвестировании, но что соответствующие расходы будут отставать на некоторое, и притом значительное, время, получаем следующее смешанное разностно-дифферендиальное уравнение:

I_t+e = a d Y/ d t,
Y_t+e = C(Y_t+e)+a d Y/ d t, или
d Y/ d t = 1/a[Y_t+e-C(Y_t+e)]

Уравнения в конечных разностях чаще употребляются в экономической науке, и этим она резко отличается от естественных наук, где ни одна значительная теория не пользуется уравнениями в конечных разностях. Уравнения в конечных разностях заманчивы потому, что с ними можно производить простые численные подсчеты и следить за характером решений по мере того, как они развертываются. Так, если экономическая система может быть представлена уравнением

Y_t = 80 — 1,3Y_t-1 — 0,80Y_t-2

и если даны в хронологической последовательности значения в моменты времени t-2 и t-1, то достаточно просто помножить первое на 0,8 и второе на 1,3 и вычесть оба полученных числа из 80, чтобы получить значение Y в момент t. Затем мы можем взять Y_t-1 и Y_t, чтобы вычислить Y_t+1, и, таким образом, экстраполировать наши результаты вперед (или, если угодно, назад), пока что-либо не изменится в отношениях, выраженных в уравнении. Эти вычисления удобно расположить, как показано в табл. 22, где числа 30 и 25 даны в качестве "начальных" значений. Таким образом, чтобы получить I₂, умножаем 25 на -1,3 (что дает -32) и 30 на -0,80 (что дает -24) и вычитаем 32 и 24 из 80; получаем Y₂ = 24.

Таблица 22

В результате имеем временной ряд Y_t, нанесенный на диаграмму (рис. 62). Читателю предлагается выполнить вычисления хотя бы для одного примера, чтобы проследить возникновение эндогенного цикла. Для простоты вычислений можно опустить постоянную (в данном случае число 80). Результаты тогда выступят в виде отклонений от равновесия, и это все, что нам нужно, если нас интересует прежде всего динамика. Для того чтобы получить полное решение, остается прибавить ко всем отклонениям число, выражающее состояние равновесия.

Экономистам часто бывает не ясно, какого именно рода действительность они желают выразить разностными уравнениями. Одна из интерпретаций состоит в том, что время в изучаемых ими процессах прерывно и принимает значение только -1, 0, +1, +2 и так далее, как в примере с базаром, который бывает только раз в месяц. В таком случае перед нами грубое приближение к явлению, большей частью представляющему собой скорее непрерывный процесс. С другой стороны, в разностном уравнении иногда видят обыкновенный временной ряд, показывающий сумму продаваемых товаров, сделок и тому подобное за известный период, например за месяц или за квартал. Наконец, оно может означать — и это наиболее законная интерпретация — действительный промежуток отставания, в течение которого процесс, происходящий в какое-то одно время, оказывает влияние на другой процесс, который проявится на некоторый постоянный отрезок времени позднее; например, производство, начатое сейчас, становится выпущенной продукцией через несколько недель или месяцев.

Рис. 62. Эндогенный цикл

Хотя дифференциальные уравнения по виду весьма отличаются от этих разностных уравнений, они имеют довольно сходные решения, которые можно найти в учебниках математики.

Теорема "паутины" Тинбергена

Можно сказать, что эконометрическое исследование экономического цикла началось с блестящего анализа теоремы "паутины" профессором Тинбергеном [Bestimmung und Deutung von Angebotskurven. Ein Beispiel // Zeitschrift fur Nationalokonomie, 1930.]. Хотя речь шла и не об экономическом цикле, но, разработав динамический и математический анализ замкнутой системы на материале хорошо изученного явления, а именно цикла свиноводства, Тинберген наметил будущий путь развития теории экономического цикла. Считая, что кривые предложения и спроса представляют собой прямые, мы получаем простейший, обусловленный отставанием цикл, потому что объем предложения зависит от той цены, которая имелась на один промежуток отставания раньше, в то время как спрос зависит от цены, существующей в настоящее время. Как легко видеть из рис. 63, цикл устойчив, если кривая спроса менее крута, чем кривая предложения, и неустойчив, если имеет место обратное. Если требуется Θ месяцев, чтобы вырастить и доставить на рынок свинью (или вообще для производства чего-либо), то количество, проданное теперь, есть функция цены, которая была Θ месяцев назад. Продолжительность цикла по необходимости составит 2Θ месяцев безотносительно к форме кривой.

Рис. 63. Теорема "паутины"

Тинберген ясно видел огромные возможности, заложенные в этом типе анализа, и вскоре распространил его на товары длительного пользования, которые характеризуются значительным промежутком отставания между принятием решения о производстве товара и его фактическим выпуском на рынок [Ein Schiffbauzyklus? //Weltwirtschaftliches Archiv. 1931.]. Скоропортящиеся товары (продукция свиноводства, например) потребляются сразу, и поэтому совокупное предложение есть просто результат цены, которая была Θ месяцев назад. Но товары длительного пользования не исчезают, и поэтому прежняя цена определяет не предложение, а скорее добавления к существующему запасу товаров. Поэтому Θ в теореме "паутины" заменяется скоростью возрастания запаса К за время е, или d K/ d t. Следовательно, скорость возрастания запаса зависит от совокупного запаса, имевшегося некоторое время назад. Тинберген показал, что это может вызвать колебания, продолжительность которых больше чем 2Θ, в силу длительности пользования товаром.

Так как большинство экономистов согласно с тем, что товары длительного пользования имеют решающее значение в механизме экономического цикла, то очевидно, что работа Тинбергена должна рассматриваться как основная для всякого исследования цикла. Теория базируется на механизме цен, свободно функционирующем на основе конкуренции, но ее легко перестроить, с тем чтобы исключить зависимость от гибких цен. Таким образом, мы можем сказать, что решение увеличить запас, определяющее начало производства, зависит от разности между фактическим запасом товаров длительного пользования и желаемым запасом. Тинберген принимал желаемый запас за постоянную величину. Если желаемый запас изменяется, то это значит, что мы ввели внешнее нарушение или толчок, который поддерживает колебание.

Поиск по сайту: