Внутренняя стоимость опциона и цена опциона

Рассмотрим рис. 5.5, на котором представлены некоторые данные по «Space Technology, Inc.» (STI), компании, которая лишь недавно получила известность и чьи акции значительно колеблются в течение ее короткого периода существования. Графа 3 табличных данных показывает стоимость STI колл опциона в момент его истечения при различных значениях цены акции; графа 4 дает фактические рыночные цены опциона; 5-я показывает премию в размере превышения фактической цены опциона над его стоимостью в момент истечения опциона. Для всех значений цены акций ниже 20 дол. внутренняя стоимость (expiration value) опциона равняется нулю; выше 20 дол. — каждый доллар возрастания в цене акции приносит увеличение на 1 дол. внутренней стоимости опциона. Отметим, однако, что фактическая рыночная цена опциона превышает его внутреннюю стоимость при любой цене базисного актива, однако с ростом цены базисного актива величина премии уменьшается. Например, когда обыкновенные акции продавались по 20 дол. за акцию и опцион имел нулевую внутреннюю стоимость, его цена и премия совпадали и равнялись 9 дол. С ростом цены акций прямо пропорционально увеличивалась и внутренняя стоимость опциона (доллар за доллар), однако рыночная цена опциона поднималась не так быстро, поэтому величина премии снижалась. Премия равнялась 9 дол., когда акции продавались по 20 дол. за акцию, но снизилась до 1 дол. в момент, когда цена акций поднялась до 73 дол. за акцию. За пределами этого значения премия фактически исчезает.

Почему существует эта модель? Почему опцион должен продаваться дороже, чем его внутренняя стоимость? Ответ на этот вопрос лежит в спекулятивной привлекательности опционов — они обеспечивают высокий уровень дохода. Для иллюстрации предположим, что опцион на акции STI продавался по цене, в точности равной его внутренней стоимости. Предположим, что вы решили приобрести обыкновенные акции этой компании в момент, когда они продавались по 21 дол. за акцию. Если бы вы купили акцию и ее цена выросла до 42 дол., вы могли бы получить прибыль в размере 100% на вложенный капитал. Однако, если бы вы купили опцион по его внутренней стоимости, равной1 дол. на момент продажи акций на рынке за 21 дол., ваша прибыль

Рис. 5.5. Цена опциона и его внутренняя стоимость («Space Technology, Inc.»).

1 — премия; 2 — рыночная цена опциона; 3 — внутренняя стоимость опциона.

на вложен­ный капитал составила бы 22 дол. - 1 дол. = 21 дол. при инвестициях в 1 дол., или фантастические 2100%. В то же время ваш суммарный потенциал убытков с опционом составил бы лишь 1 дол. по сравнению с потенциальными убытками в 21 дол. в случае непосредственной покупки акций. Ясно, что подобная си­туация, характеризующаяся высокой потенциальной прибылью на вложенный капитал и ограниченными убытками, имеет определенную ценность, которая и выражается в виде премии. Отметим, однако, что покупка опциона является более рисковой, чем покупка акций STI, потому что существует более высокая вероятность потери денег на опционе: если цена акций STI останется равной 21 дол., вы не получите ни прибыли, ни убытка (если не брать в расчет трансакционные затраты), но вы можете потерять ваши первоначальные инвестиции в опцион в размере 1 дол.

Почему премия снижается, когда цена акции возрастает? Частично это объясняется тем, что эффект левериджа и размер защиты от убытков снижаются с ростом цены акции. Например, если вы решили купить акции STI, когда их цена была 73 дол. за акцию, внутренняя стоимость опциона была бы равна 53 дол. Если бы цена акции удвоилась до 146 дол., внутренняя стоимость отциона изменилась бы с 53 до 126 дол. В процентном отношении прибыль на вложенный капитал по акциям достигла бы 100%, но прибыль по опциону в процентном отношении равнялась бы всего 138% (сравним с 2100% в pacсмотренном ранее примере). Отметим также, что потенциальные убытки по опциону намного больше, когда опцион продается по высоким ценам. Эти два фактора, уменьшающееся влияние левериджа и увеличивающаяся опасность убытков, помогают объяснить, почему премия уменьшается с ростом цены базисного актива.

Цена опциона зависит не только от текущей цены акции и цены исполнения, но и от трех других факторов: 1) срока опциона, 2) изменчивости цены акции, 3) величины безрисковой процентной ставки. Ниже будет объяснен механизм воздействия этих факторов на цену опциона, а сейчас отметим следующее.

1. Чем длиннее срок опциона, тем больше его стоимость и премия. Если срок опциона истекает сегодня в 4 часа дня, невелик шанс, что цена акции изменится, поэтому опцион должен продаваться к закрытию по своей внутренней стоимости и его премия должна быть маленькой. С другой стороны, если срок опциона истекает через год, цена акции может резко возрасти, что поднимает стоимость опциона.

2. Опцион на очень неустойчивые акции будет стоить больше, чем на стабильные. Если цена акции редко изменяется, то имеется слабый шанс получения большой прибыли. Однако если цена акции весьма неустойчива, то опцион может стать очень дорогим. В то же время убытки по опционам ограничены, поэтому сильные падения цены акции не будут давать соответствующего негативного эффекта для держателей опционов. Следовательно, чем больше неустойчивость акции, тем выше стоимость этих опционов.

Имея в виду отмеченное в пунктах 1 и 2 и рассматривая ситуацию стабильной, можно объяснить поведение графиков на рис. 5.5: при прочих равных условиях чем длиннее срок опциона, тем в большей степени график его рыночной цены отклоняется от графика внутренней стоимости опциона. Аналогично чем больше неустойчивость цены базисной акции, тем выше линия рыночной цены опциона. Ниже будет показано, как эти факторы, а также безрисковая процентная ставка воздействуют на стоимость опционов.

Вопросы для самопроверки

Дайте определение следующих понятий:

1)опцион;

2) колл опцион;

3) пут опцион;

4) цена опциона (премия);

5) цена исполнения;

6) дата истечения опциона;

7)европейский опцион;

8) американский опцион;

9) непокрытый опцион;

10) покрытый опцион;

11) опцион «в деньгах»;

12) опцион «без денег»;

Какие факторы воздействуют на цену опциона?

Что подразумевается под графиком выплат для опциона?

Что такое пут—колл паритет и что он показывает?

Почему рыночная цена колл опциона обычно выше его внутренней стоимости?

Введение в ценообразование опционов

Прежде чем приступить к обсуждению хорошо известной модели ценообра­зования опционов, полезно рассмотреть простой пример. Предположим, что продаются одногодичные колл опционы на акции «Butler», фирмы на Среднем Западе, которая работает по лицензии со скоропортящимися продуктами. Ка­ждый опцион имеет цену исполнения 35 дол., но акции «Butler» в настоящее время продаются по 40 дол. за акцию. Предположим далее, что, когда срок опциона через год истечет, акции «Butler» будут продаваться по одной из двух цен — 30 или 50 дол. При этих условиях какова будет цена колл опциона на акции «Butler»? Ответ на этот вопрос может быть получен в несколько этапов.

1. Исследование возможности поступления в момент истечения опциона. В этот момент цена акции будет равняться либо 30, либо 50 дол., и цена опциона в момент истечения срока будет зависеть от цены на акции «Butler». Таким образом, в момент истечения опциона мы имеем следующую ситуацию (в дол.):

2. Уравнивание вариации поступлений. Как показано в пункте 1, вариация поступлений равна 20 дол. при инвестициях в акцию (поступление в размере либо 30, либо 50 дол.) и 15 дол. при инвестициях в опцион (поступление в раз­мере либо 0, либо 15 дол.). Размер вариации был бы одинаков в обоих случаях, если бы вы купили 0.75 акции компании «Butler» (или если бы вы купили 75 ак­ций и 100 опционов). Тогда поступления выглядели бы следующим образом (в дол.):

3. Конструирование безрискового хеджа. Можно сконструировать безриско­вый портфель, купив 0.75 акций «Butler» и продав один колл опцион. Продажа колл опциона не оказала бы влияния на окончательную стоимость портфеля, если бы цена акции снизилась, и уменьшила бы ее, если бы цена выросла. Ре­зультирующий доход имеет следующий вид (в дол.):

Теория опционов и их оценка

Если цена акции будет равна 30 дол. в момент истечения срока опциона, то инвестиции в акции стоили бы 22.50 дол. и колл опцион не был бы исполнен, следовательно, он не оказал бы влияния на стоимость портфеля. С другой стороны, если цена акции будет равна 50 дол. в момент истечения опциона, то размер инвестиций в акции составил бы 37.50 дол., но держатель колл опциона исполнил бы свой опцион. Таким образом, требуется обеспечить одну акцию по цене исполнения 35 дол., которую необходимо купить за 50 дол. (по рыночной цене), и следовательно, будут иметь место убытки в размере 15 дол. Итак, независимо от того, что случится с ценой акции, портфель стоил бы 22.50 дол. – мы создали безрисковый портфель, купив акцию и продав колл опцион на эту акцию.

4. Оценивание колл опциона. В предыдущих рассуждениях не устанавливалось, какая цена должна быть уплачена при продаже колл опциона. Однако мы показали, что наш безрисковый портфель должен стоить в действительности 22.50 дол. в момент истечения опциона через год. Если безрисковая ставка равняется 8%, то дисконтированная стоимость портфеля составила бы 22.50 дол.: 1.08 = 20.83 дол. Так как текущая цена акции «Butler» равняется 40 дол., создание безрискового портфеля потребовало бы инвестиций в акции в сумме 0.75 • 40 дол. = 30 дол., за вычетом того, что мы получаем от продажи колл опциона. Так как наши суммарные инвестиционные издержки на создание безрискового портфеля должны быть меньше или равны 20.83 дол., текущей стоимости портфеля, мы должны суметь продать колл опцион по крайней за 30 дол. - 20.83 дол. = 9.17 дол., чтобы покрыть свои затраты. Если предположить, что на опционном рынке существует конкуренция, то цена 9.17 дол. была бы равновесной ценой опциона.

Ясно, что этот пример не является реалистическим, поскольку цены на акции «Butler» могут быть через год почти нулевыми. Но этот пример иллюстрирует, что инвестор может в принципе создавать безрисковые портфели, покупая акции и продавая колл опционы этих акций, и доходность таких портфелей равнялась бы безрисковой процентной ставке. Если колл опционы обращаются не по той цене, которая отражает это условие, арбитражеры будут торговать акциями и опционами до тех пор, пока цены опциона не будут отражать условие равновесия. В следующем разделе мы обсудим модель ценообразования опционов Блэка—Шоулза, которая базируется на только что описанной общей идее создания безрискового портфеля и в то же время более адекватно отражает особенности ценообразования «в реальном мире», поскольку в расчет принимается изменение цен большого числа акций.

Вопросы для самопроверки

Опишите, как можно сконструировать безрисковый портфель, используя акции и опционы.

Как с помощью такого портфеля можно оценивать стоимость колл опциона?

Модель ценообразования опционов Блэка—Шоулза

Модель ценообразования опционов Блэка—Шоулза (Black—Scholes Option Pricing Model, ОРМ), которая оценивает колл опционы, была разработана в 1973 г., когда уже начался период быстрого роста опционной торговли.5 Эта модель, уже зашитая в постоянную память некоторых финансовых микрокаль­куляторов, широко используется торговцами опционами на практике. Наш ин­терес, однако, заключается в том, чтобы показать, что теория опционов может использоваться для оценки всех производных бумаг, включая варранты, конвер­тируемые ценные бумаги, и даже для оценки собственного капитала финансово зависимых фирм.

Чтобы вывести свою модель ценообразования опционов, Блэк и Шоулз сде­лали следующие предположения.

1. По базисному активу колл опциона дивиденды не выплачиваются в тече­ние всего срока действия опциона.

2. Нет трансакционных затрат, связанных с покупкой или продажей акции или опциона.

3. Краткосрочная безрисковая процентная ставка известна и является по­стоянной в течение всего срока действия опциона.

4. Любой покупатель ценной бумаги может получать ссуды по краткосроч­ной безрисковой ставке для оплаты любой части ее цены.

5. Короткая продажа разрешается без ограничений, и при этом продавец получит немедленно всю наличную сумму за проданную без покрытия ценную бумагу по сегодняшней цене.6

6. Колл опцион может быть исполнен только в момент истечения опциона.

7. Торговля ценными бумагами ведется непрерывно, и цена акции движется непрерывно и случайным образом.

Вывод ОРМ основывается на концепции безрискового хеджа, рассмотренной в предыдущем разделе. Покупая акции и одновременно продавая колл опционы на эти акции, инвестор может конструировать безрисковую позицию, где при­были по акциям будут точно компенсировать убытки по опционам, и наоборот. Безрисковая хеджевая позиция должна приносить доход по ставке, равной бе­зрисковой процентной ставке, в противном случае существовала бы возможность извлечения арбитражной прибыли и инвесторы, пытаясь получить преимуще­ства от этой возможности, приводили бы цену опциона к равновесному уровню, который определяется ОРМ.

ОРМ состоит из следующих трех формул:

(5.2)

(5.3)

(5.4)

Здесь V — текущая стоимость колл опциона в момент t до истечения срока опциона; Р — текущая цена базисной акции; N(d_i) — вероятность того, что отклонение будет меньше d₁ в условиях стандартного нормального распределения (таким образом, N(d₁) и N(d₂) ограничивают область значений для функции стандартного нормального распределения); X — цена исполнения опциона; — безрисковая процентная ставка; t — время до истечения срока опциона (период опциона); — вариация доходности базисной акции.

Мы не будем заниматься выводом ОРМ — он включает ряд довольно сложных понятий из курса математической статистики, которые выходят за рамки изложения данного текста. Эта модель достаточно проста в использовании с учетом ранее сформулированных предпосылок. Если фактическая цена опциона отличается от цены, найденной с помощью (5.2), будет существовать возможность извлечения арбитражной прибыли, которая в свою очередь приведет к постепенному сближению этих цен.7 Как отмечалось ранее, ОРМ широко используется торговцами, поэтому фактические цены опционов действительно довольно хорошо приспосабливаются к ценам, получаемым из модели.

В сущности, P[N(d₁)] может рассматриваться как дисконтированная о; даемая конечная цена акции, тогда как второй член, Xexp(- t)[N(d₂)], может трактоваться как дисконтированная цена исполнения. Однако, вместо того чтобы пытаться понять точный смысл приведенных формул, более целесообразно поработать с некоторыми ценами и увидеть, как изменения различных входящих переменных будут воздействовать на стоимость колл опциона.

Пример использования ОРМ

Текущая цена акции, Р, цена исполнения, X, время до истечения срока опциона, t, могут быть получены, например, из «Wall Street Journal». В качестве безрисковой ставки, /CRF» можно использовать доходность по казначейским векселям со сроком, равным сроку действия опциона. Вариация цены акции , может быть оценена вычислением вариации относительного изменения цен акции в разрезе дней в течение последнего года: .

Предположим, что получена следующая информация: Р = 20 дол., X = 20 дол., t = 3 месяца, или 0.25 года, = 12%, или 0.12, = 0.16.

Имея эту информацию, мы можем найти стоимость опциона с помощью ОРМ. Так как d₁ и d₂ являются исходными переменными для (5.2), вначале решим (5.3) и (5.4).

Отметим, что N(d₁) = N(0.25) и N(d₂) = N(0.05) ограничивают область значений для функции стандартного нормального распределения. Из табл. I.5 в конце книги находим, что величина d₁ = 0.25 дает вероятность 0.0987 + 0.5000 = 0.5987, поэтому N(d₁) = 0.5987. Аналогично N(d₂) = 0.5199. Далее воспользуемся (5.2):

Таблица 5.2

Поиск по сайту: