Нормальное распределение. Нормальное распределение, хорошо описывающее многие практические ситуации, широко распространено на практике

Нормальное распределение, хорошо описывающее многие практические ситуации, широко распространено на практике. Плотность распределения вероятностей симме­трична относительно ожидаемой величины и имеет область определения от — ∞ до +∞. На рис. 2А.3 представлена кривая нормального распределения со средней доходностью, , 10% и средним квадратическим отклонением, , равным 5%. Любое нормальное распределение обладает следующим свойством: площадь фигуры, ограниченной осью аб­сцисс, графиком плотности распределения и прямыми, пересекающими ось абсцисс в точках ± , составляет 68.3%, общей площади, лежащей между графиком плотности и осью абсцисс; если прямые проходят через точки ± 2 или ± 3 , доля площади увеличивается соответственно до 95.5 и 99.7%. Следовательно, вероятность того, что фактическая доходность будет колебаться в диапазоне от 5 до 15% ( ± ), составляет 68.3%, и т. д. Очевидно, что чем меньше величина среднего квадратического отклоне­ния, тем меньше вероятность слишком большого отклонения фактической доходности от ожидаемого среднего значения, а значит, и меньше общий риск инвестирования. Чтобы определить вероятность того, что результат будет меньше 7.5 и 12.5%, нужно вычислить площадь под кривой между этими точками, или заштрихованную площадь на рис. 2А.3. Эта площадь может быть определена путем интегрирования или, еще проще, с помощью статистических таблиц площади под

кривой нормального распределения.3 Эти таблицы построены для стандартизованного нормального распределения, т. е. распределения нор­мированной величины z:4

(2А.1)

где х — значение доходности.

Для того чтобы определить вероятность варьирования доходности в интервале от 7.5 до 12.5%, найдем значения z в этих точках по формуле (2А.1):

Из табл. 2А.1 находим, что площадь фигуры, ограниченной прямыми, пересекаю­щими ось абсцисс в точках и z при |z| = 0.5, равна 0.1915. Это означает, что вероят­ность получения доходности в размере от 7.5 до 10% (или от 10 до 12.5%) равна 0.1915, или 19.15%:5 Таким образом, вероятность колебания доходности от 7.5 до 12.5% соста­вляет 38.3%.

Предположим, нужно найти вероятность того, что фактическая доходность будет ниже нуля. Из табл. 2А.1 находим, что вероятность варьирования доходности от 0 до 10% равна 0.4773. В силу симметричности распределения вероятность того, что доход­ность будет меньше среднего значения, равна 0.5. Следовательно, значение фактической доходности может быть отрицательным с вероятностью 0.0227, или 2.27%.

Таблица 2A.1 Участок под кривой нормаль­ного распределения

Z	Площадь, ограниченная прямыми, проходящими через точки и х
0.0	0.0000
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4773
2.5	0.4938
3.0	0.4987

Примечание. Здесь z означает число средних квадратических отклонений заданного значения х от центра распреде­ления. Некоторые таблицы составляют таким образом, чтобы показать площадь фигуры, лежащей слева или справа от ука­занного значения z; в этой таблице приведена площадь фи­гуры, ограниченной прямыми, проходящими через z и центр распределения. Таким образом, участок между центром рас­пределения и точкой, где z равно +0.5 или —0.5, составляет 0.1915, т. е. 19.15% общей площади или вероятности. Более полный ряд значений площади приведен в табл. 1.5 в конце книги.

Поиск по сайту: