ДИЦГЕН 25 6 страница

Д. различаются также по тому, что с логич. т. зр. представляет собой тезис: (а) является ли он сужде­нием (системой суждений) о единичном объекте (фак­те, событии) или (б) содержит утверждения всеоб­щего характера и утверждения о с у щ е с т в о в а-н и и объектов, обладающих нек-рыми свойствами или находящихся в нек-рых отношениях к др. объектам; в случае (б) в доказываемом суждении (суждениях) имеются обычно т. н. кванторные слова и выражения, служащие для передачи всеобщности и существования (см. Кванторы). В науках, использующих в качестве оснований Д. суждения непосредственного восприя­тия, тезисом Д. часто служат суждения о единичных фактах (единичные тезисы). Д. единичных тезисов име­ет важное значение в таких науках, как география, геология, пауки об истории природы и общества (пале­онтология, всеобщая история и др.). Д. тезисов, со­держащих утверждения всеобщности, имеет важней­шее значение в любой отрасли знания,— в том числе и там, где видное место занимают Д. единичных тези­сов,— определяемое тем, что всякий закон выража­ется суждениями, содержащими всеобщие высказы­вания. Необходимыми в познании являются и Д. те­зисов, содержащих высказывания о существовании (Д. существования). В науках, основанных на прямом использовании данных опыта, Д. существования род-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 45

ственны Д. единичных тезисов и состоят обычно в предъявлении объектов (явлений, событий), обладаю­щих соответствующими свойствами и отношениями; такое предъявление всегда, фактически, включает логич. рассуждения (напр., удостоверяющие, что най­денный конкретный предмет имеет все те свойства и отношения, к-рые должен иметь объект, существова­ние к-рого доказывается), почему и должно считаться логич. Д. Особый вид Д. составляют Д., в к-рых ис­тинность суждения устанавливается путем удостове-рения надежности того источника (летопись, офиц. документы, свидетельства современников и пр.), из к-рого оно первоначально было почерпнуто, и обосно­вания того, что в процессе (быть может длительной и сложной) передачи нам зтого, возникшего как истин­ное, суждения в него не вкрались искажения, сущест­венно меняющие его первоначальный смысл; такие Д.— необходимое средство исследоват. работы, напр. в историч. науке.

От Д. наук, непосредственно опирающихся на дан­ные опыта, отличны Д. в математике, математич. ло^ гике, теоретич. физике и др. дисциплинах, наз. Дедуктивными науками. Это различие связано с тем, что в этих науках непосредственным предметом рассмотрения являются не чувственно вос­принимаемые вещи, а т. н. абстрактные объ­екты, т. е. абстрактные понятия, ставшие самостоя^ тельным предметом исследования; примером абстракт­ных объектов могут быть, напр., математич. абстрак» ция точки (не имеющей физич. размеров), абстракции идеально точных геометрич. фигур, абстракции чисел различных числовых областей, абстракции бесконечных множеств разных «порядков» и т п.; системы таких абстрактных понятий являются результатом специфи­ческих для дедуктивных наук способов абстрагирова­ния. В недедуктивных науках абстрагирование носит преимущественно одноступенчатый (однократ­ный) характер; результатом абстрагирования являют­ся понятия, обычно непосредственно отвлеченные от чувственно воспринимаемых вещей и используемые для изучения этих вещей; наиболее распространенным способом абстрагирования в этих науках является установление отношений различия и тождества (оди­наковости) среди конкретных вещей и последующее отождествление одинаковых предметов. Такой спо» соб абстрагирования, наз. абстракцией отождеств­ления, широко используется и в дедуктивных науках. Абстракция отождествления есть, по существу, пред посылка любого Д., т. к., во-первых, она всегда так или иначе участвует в образовании понятий, фигури­рующих в данном Д., а, во-вторых, используется не­посредственно в самом Д., поскольку в нем приходится различать и отождествлять входящие в него понятия и суждения (по их языковым выражениям). Однако в дедуктивных науках эта абстракция часто приме­няется повторно: к результату предшествующего этапа абстрагирования снова применяется абстракция ото­ждествления (абстракция от абстракций) и т. д. Кроме того, в отличие от недедуктивных наук, в математике, теоретич. физике и др. науках широко используется идеализация, порождающая такие понятия, как «иде­ально черное тело», «материальная точка» и т. п., прообразы к-рых среди реальных вещей могут быть указаны лишь с тем или иным приближением. Нако­нец, существуют специфические для математики и ло­гики способы абстрагирования, такие, как абстрак­ция потенциальной осуществимости и абстракция актуальной бесконечности, позволяющие говорить о конечных конструкциях произвольной сложности и о таких своеобразных объектах, как бесконечные мно­жества. Особенности абстрагирования в дедуктив­ных науках приводят к тому, что рассматриваемые в них объекты не обладают чувственной наглядностью

(такая наглядность привлекается лишь для иллюст­рации рассматриваемых в этих науках отношений, а также как средство догадаться о таких отношениях); объекты, о к-рых идет речь в таких дедуктивных нау­ках, как математика и логика, часто называют в этой связи неспец и фицированными объек­тами (в отличие от специфицированных объектов, изучаемых в естественных и др. науках). Описанный характер объектов в дедуктивных науках препятствует использованию в Д. этих наук суждений непосредственного восприятия. Уже по этой причине в дедуктивных науках, по крайней мере в настоящее время, не могут применяться опытные индуктивные Д. Из обществ, наук преимущественно дедуктивную форму носят Д. в политич. экономии.

Д. в дедуктивных науках обычно могут быть орга­низованы в аксиоматич. систему (см. Метод аксиома­тический). Такая организация системы Д. в этих нау­ках связана с тем, что среди посылок здесь отсутст­вуют суждения об опытных данных; поэтому для того чтобы процесс доказывания предложений (теорем) этих наук не уходил «в бесконечность» (ведь посылка каждого данного Д.,— если не считать используемые в нем определения понятий, к-рые также можно рас­сматривать в качестве оснований Д. и как таковые считать доказанными,— должна быть в свою очередь доказана, и т. д.), приходится принимать нек-рые предложения в качестве аксиом. Всякое Д. в дедук­тивных науках может быть представлено как вывод следствия из аксиом. Это выведение происходит с по­мощью дедуктивных умозаключений, а также с по­мощью различных видов математич. индукции. Мате­матич. индукция является индуктивным умозаключе­нием в том смысле, что приводит к обобщающим заклю­чениям; но т. к. это обобщение связано с «пересмот­ром» бесконечного множества абстрактных объектов, оно вынуждено опираться на нек-рый общий принцип; поскольку принцип математич. индукции формализу­ется в виде аксиомы, применение математич. индук­ции не выводит за пределы дедуктивной теории.

При всем различии между эмпирич. Д. и Д. в дедук­тивных науках оба типа Д. в познании вступают во взаимосвязь друг с другом. Эта взаимосвязь проявля­ется, в частности, в том, что во многих науках, осно­ванных на непосредственном использовании данных наблюдения и эксперимента, имеются разделы, строя­щиеся дедуктивно. Как правило, в этих разделах при­меняются математич. средства. Значение дедуктивных фрагментов, а значит и способов Д., типичных для дедуктивных наук, в недедуктивных науках особенно возросло за последние десятилетия. В таких науках, как экономика, лингвистика, генетика, конкретные социологич. исследования, внедрение способов Д., характерных для дедуктивных наук, происходит часто путем построения математич. или логико-мате-матич. моделей тех явлений, к-рые изучаются в данной области знания. С др. стороны, в чисто дедуктивных науках (математика, логика) в связи с развитием вычислит, математики и созданием информационно-логич. и управляющих машин открываются неизве­стные здесь ранее возможности получения новых результатов посредством экспериментирования с ма­шинами (математич. эксперимент).

Связь Д. с практикой состоит в том, что человеч. опыт — источник суждений непосредственного вос­приятия, играющих такую важную роль в эмпири­ческих Д.,— приобретается людьми в процессе ак­тивного взаимодействия с природными явлениями и др. людьми, а также в том, что доказанные наукой результаты становятся средством предвидения, руко­водством в самых различных сферах общественно-производств., технич. и др. деятельности людей, по­лучая, т. о., прямую проверку на практике. Связь Д.

46 Доказательство

с практикой, особенно наглядная в эксперименталь­ных науках, имеется и в случае наук дедуктивных. Она осуществляется через употребляемые и изучае­мые в дедуктивной науке абстрактные понятия; абстрактные объекты, с к-рыми здесь оперируют, сво­дятся (обычно через ряд переходных ступеней абстра­гирования) к абстракциям, уже непосредственно свя­занным с чувственно-практич. деятельностью людей; часто такой исходной абстракцией является абстрак­ция отождествления, в конечном счете возникающая из оперирования с реальными вещами. С этим связано то, что оперирование с математич. объектами может в ряде случаев носить непосредственно очевидный и своеобразно-наглядный характер или, как часто гово­рят в математике, быть интуитивно убедитель­ным (интуицию в этом смысле не следует смешивать с интуицией в смысле Бергсона, см. Интуитивизм). Связь дедуктивных наук с практикой происходит да­лее через интерпретацию теории в терминах реаль­ных процессов, совершающуюся при приложении ее к решению тех или иных практич. задач. Такая интер­претация состоит, по сути дела, в исключении абстрактных объектов, фигурирующих в доказанных предложениях (теоремах) данной теории, посредством нахождения (иногда приближенного) таких реальных вещей или явлений — представите­лей этих абстрактных объектов, к-рые удовлетворяют установленным в теоремах соотношениям. Эффектив­ность практич. приложений теории является подтверж­дением верности как теории в целом, так и тех Д., из к-рых она состоит. В случае, когда теория соединяет эмпирич. материал с его дедуктивной обработкой, часто применяется т. н. феноменологиче­ский метод, состоящий в выведении следствий из системы допущений (постулатов) теории и прямого сопоставления их с наблюдаемыми фактами; если прак­тика наблюдений и экспериментов подтверждает следствия, теория считается доказанной.

Целью Д. является установление несомненной, не­преложной истинности тезиса — его достовер­ности. Однако достоверность суждения, обоснован­ного посредством Д., не носит безусловного характера. В большинстве случаев доказанное суждение представ­ляет собой лишь относительную истину. От­носительность истинности доказанных суждений вы­текает уже из того, что основания Д.,— это особенно ясно видно в науках, непосредственно опирающихся на данные опыта,— лишь приблизительно верно от-ражают^действительность, т. е. в свою очередь явля­ются относит, истинами. Относительность истинности суждений, фигурирующих в Д.,— как оснований, так и тезиса Д.,— с логич. т. зр. имеет своим источником приближенный характер отражения действительно­сти в той системе понятий, в рамках к-рой строится данное Д. Истинность тезисов, доказанных с исполь­зованием нек-рой системы понятий, ограничена сфе рой применимости последних, определяемой характе­ром абстрагирования и идеализации, примененных при их образовании, и вообще применяемыми спосо­бами их введения в науку. Это особенно важно иметь в виду при рассмотрении Д. в математике и логике, претендующих на максимальную достоверность, -такую, при к-рой возможность сомнения в истинности доказываемого суждения обычно практически исклю чена, по крайней мере для совр. человека. Имея в виду эту черту Д. в математике и логике, их иногда наз. «абсолютными». Но и в математич. и в логич. Д. входит момент относительности: его вносят прежде всего аб­стракции отождествления, потенциальной осущест­вимости и актуальной бесконечности, а также исполь­зование идеализации при образовании математич. по­нятий. Существующие в основаниях математики и логики дискуссии о допустимости абстракции акту-

альной бесконечности (см. Интуиционизм, Конструк­тивная логика), а также возникновение критики идеи потенциальной осуществимости связаны с различной оценкой многими учеными нек-рых видов Д. в дедук­тивных науках (так, интуиционисты и сторонники конструктивного направления отказываются от так называемых чистых Д. существования, в то время как сторонники классической математики и логики счи­тают эти Д. допустимыми) и даже целых разделов ма­тематики (отрицание интуиционизмом и конструктив­ным направлением теории множеств Кантора). Отно­сительность истин, извлекаемых посредством Д., выражает относительность критерия практики.

Достоверность заключения Д. предполагает, что оно с логич. необходимостью следует из достоверных оснований. Известно, однако, что в науке большое место занимают рассуждения, в к-рых заключение сле­дует из оснований (даже достоверных) лишь с той или иной степенью правдоподобия. Такой харак­тер, в частности, носят многие рассуждения, в к-рых используется неполная индукция и аналогия. В слу­чае, когда правдоподобность рассуждений достаточно велика, становится затруднительно провести четкую границу между ними и рассуждениями, дающими до­стоверное заключение. Это затруднение объясняется, с одной стороны, трудностью точного определения понятия Д., предполагающего полное и строгое опи­сание логич. средств, могущих быть использованными в ходе рассуждения, а с др. стороны — сложностью проблемы определения степени правдоподобия суж­дения (см. Вероятностная логика). Однако практика науки свидетельствует о том, что в областях знания, основанных на непосредственном использовании опыт­ных данных, часто встречаются рассуждения, дающие заключения, правдоподобие к-рых практически при­ближается к достоверности и даже сливается с ней. Такие рассуждения естественно отнести к Д. (что и предполагалось выше в настоящем изложении). До­стоверный (или практически приближающийся к дос­товерному) характер придают тезисам такие Д., как обоснование посредством «перекрестного опыта»; мно­гие опытные индуктивные рассуждения, включаю­щие в себя дедуктивные выводы из доказанных ранее законов; феноменологич. Д. естественнонауч. теорий; Д., основанные на изучении источников происхожде­ния суждения или состоящие в констатации наблю­денных событий и т. д.

Д., как обоснование истинности тезиса, следует отличать от открытия истины, включающего возникновение гипотезы, более или менее оправдан­ной догадки об истинности тезиса, общей идеи о спо­собе его Д. и т. п. Д. может быть весьма тесно связано с процессом открытия, но оно может быть и отгра­ничено от него. В опытных науках Д. часто непосред­ственно связано с открытием. Напр., эксперимент, приводящий к раскрытию нек-рой закономерности (производимый обычно па основании к.-л. теории), как правило, выступает и как Д. истинности суждения, выражающего эту закономерность. Д. и открытие, в общем, совпадают и тогда, когда сопоставление и анализ имеющихся научных данных (напр., уравне­ний нек-рого математически обработанного раздела естествознания) приводит к выведению таких след­ствий из них, к-рые выражают ранее не известные за­висимости между изучаемыми явлениями. В случае, когда процесс открытия вместе с тем является и про­цессом построения Д., рассуждение обычно идет от установленных наукой суждений как оснований через ряд следствий к доказываемому тезису. Д., характе­ризующееся ходом рассуждения от оснований к те­зису, наз. прогрессивным.

В случае, когда Д. и открытие в общем не совпа­дают, тезис будущего Д. появляется сначала в виде

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 47

вероятного предположения, вслед за чем возникает проблема отыскания его Д. Так часто бывает, напр., в математике, где в процессе открытия видную роль играют неполная индукция и аналогия, т. е. те логпч. средства, к-рые не допускаются вматематич. Д. Одним из способов отыскания Д., особенно в дедуктивных науках, является рассмотрение доказываемого тезиса с целью нахождения таких истинных суждений, из к-рых он логически следует. Такой способ рассужде­ния еще со времени др.-греч. математики получил назва­ние анализа.Д.,в к-ром рассуждение идет от рас­смотрения тезиса к отысканию его оснований, называ­ется также регрессивным. После того как осуществлено регрессивное (аналитическое) построе­ние Д., всегда может быть построено соответст­вующее прогрессивное, или синтетическое, Д. (см. Синтез).

Поскольку в построении наук придерживаются достаточного основания принципа, постольку можно сказать, что понятия истиныиД. связаны в них следующим образом: истина есть результат потенци­ально осуществимого Д.

Важнейшим свойством (правильного) Д. является его убедительность. Именно на Д. (в самом широком смысле этого слова) должна быть основана у людей любая уверенность в истинности соответст­вующих суждений. Этим, в частности, объясняется значит, место Д. вне науки: в педагогич. процессе, в судебной практике, в политич. борьбе, дипломатии и т. п. Так, напр., доказательность, убедительность — важные требования, к-рым должно удовлетворять ре­шение или приговор суда. Приемом, к-рый часто за­меняет Д., является ссылка на авторитет. Чтобы служить действительным эквивалентом Д., такая ссылка должна предполагать, что те, к кому она обращена, имеют возможность (быть может, при выпол­нении некоторых условий, например, после овладения необходимыми знаниями) проверить соответствую­щее суждение посредством рассмотрения (или пост­роения) его Д. Доказательное значение ссылки на авторитет не может превосходить доказательной силы того рассуждения, которым этот авторитет пользуется для обоснования рассматриваемого суж­дения.

Термин «Д.» употребляется часто в смысле, отлич­ном от его логич. значения. Часто, напр., рассужде­ния, по сути дела бездоказательные, но направленные на то, чтобы вызвать у др. людей убеждение в ч.-л., тоже наз. Д. В др. случаях Д. паз. такие обстоятель­ства или факты или же свидетельства об обстоятель­ствах или фактах, из к-рых выводится то пли иное заключение. Так, в юриспруденции Д. («судебными Д.») наз. свидетельские показания, заключения экс­пертизы, т. н. вещественные Д. (напр., предметы, могущие быть уликами совершенного преступления) и пр.; что же касается Д. в логич. смысле, т. е. рассуж­дения, имеющего целью обоснования истины по дан­ному судебному делу (проводимое сторонами, участ­вующими в судебном процессе), то оно называется доказыванием. Подобная терминология при­меняется и вне юридической науки: Д. называют­ся аргументы (доводы), а доказыванием — опираю­щийся на них процесс обоснования истины; иногда же «доводом» или «аргументом» называются все Д. в целом.

В науке и повседневной практике логич. средства, применяемые в Д., обычно не уточняются; при пост­роении Д. просто используются те логич. формы, операции, правила и законы, к-рые исторически сло­жились в практич. и познават. деятельности людей. Поскольку, однако, в ходе рассуждений, претендую­щих на обоснование истины, могут быть допущены логич. ошибки, возникает задача отделения рассуж-

дений, не приводящих к обоснованию истины и лишь внешне похожих па Д. («неправильных Д.»), от рас^ суждений, действительно являющихся Д. Эта задача требует уточнения логич. формы (формализа^ ц и и) Д.

Проблема уточнения логической формы Д. воз­никла вместе с самой формальной логикой. Первая теория дедуктивных Д. была создана Аристотелем, основывавшим ее па своем учении о силлогизме. Ари­стотель впервые выделил виды оснований Д. (аксио­мы, определения) и логических ошибок, возможных в Д. Для развития учения о Д. большое значение име~ ло становление в античной науке аксиоматическо­го метода (Эвклид). В новое время (16 —19 вв.) изучен нию подверглись индуктивные умозаключения и логическая сторона наблюдения и эксперимента (Ф. Бэкон, Дж. С. Милль); тем самым было поло^ жено начало изучению опытных Д. В 18—19 вв. окон­чательно сложилось учение о Д. в традиционной логике.

В традиц. логике во всяком Д. выделяются три час­ти: тезис, основания и демонстрация (или аргумента­ция), т. е. та форма рассуждения (состав умозаклю­чений и их связь друг с другом), посредством к-рой тезис выводится из оснований. Основания подразде­ляются на аксиомы, определения, ранее доказанные суждения и суждения непосредственного восприятия, От Д. отличаются опровержения как обоснования лож^ ности нек-poro суждения. Д. делятся на прямые и косвенные (см. Косвенное доказательство). Для отличения правильных Д. от неправильных уста­навливают т. н. п р а в и л а Д. и выявляются те ошибки, к-рые связаны с их нарушением. Обычно ука­зываются след. правила Д.: тезис должен быть ясен и вполне определенен; он должен быть одним и тем же на протяжении всего Д. (нарушение этого правила наз. подменой тезиса); в числе оснований не должно быть ложных или недоказанных суждений; для тех оснований данного Д., к-рые, в свою очередь, нуждаются в Д., должны иметься такие Д., в к-рых не используется в качестве основания тезис данного Д., т. е. не должно быть круга в доказательстве; те­зис должен логически следовать из аргументов, что означает, что демонстрация должна состоять только, из правильных умозаключений; от Д. необходимо от­личать приемы, с помощью к-рых люди стремятся убеждать др. людей, воздействуя не на их разум, а на чувства, желания или волю (т. п. «аргумент к чело­веку», «к публике» и др.).

Проверка того, пе нарушены ли в Д. к.-л. из указ. выше правил, требует прежде всего явной формули­ровки всех суждений, к-рые в нем скрыто фигурируют (поскольку во многих Д. часто не высказываются нек-рые их части), и приведения каждого шага Д. к формам умозаключений, описываемым в логике. История науки, однако, показала, что средств тра­диц. логики недостаточно для формализации науч. Д.; прежде всего это обнаружилось в применении к математическому Д.: средства традиционной логи­ки ничего не давали, напр., для исследования логических оснований математического анализа и арифметики и т. п. Потребности исследования ис­ходных понятий и принципов математики застави­ли математиков создать в последней трети 19 — начале 20 вв. особую теорию математическо­го Д., использующую средства не традиционной, а математической логики (Фреге, Дж. Пеано, Рассел, Д. Гильберт и др.).

В математической логике различают понятия ф о р-мального и содержательного Д. Под формаль­ным Д. обычно понимают представление Д. б виде определен-, ной материальной конструкции — в виде конструктивного объекта того или иного рода. Способы такого представления бывают различными; в настоящее время наиболее обычны: представление доказательств в виде деревьев формул,

48 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РАЗБОРОМ СЛУЧАЕВ

выражающих на нек-ром формализованном языке сужде­ния рассматриваемой теории, а также линейное пред­ставление — в виде строчек формул формализованного языка. Дерево Д. имеет следующий вид: нек-рые формулы в дереве стоят над другими, и в этом случае, если (и только если) над к.-л. формулой стоит одна или несколько формул, то эта формула получается из стоящих непосредственно над ней формул путем применения одного из (заранее описан­ных) правил логического вывода; самые верхние формулы фигуры являются аксиомами рассматриваемой теории (при­чем к числу аксиом причисляются и аксиомы логики), а самой нижней формулой — тезис Д. В случае линейного представ­ления Д. последнее представляет собой строчку формул, в к-рой каждая формула есть либо аксиома, либо получается из предшествующих формул Д. по правилам вывода, причем последняя формула строчки есть заключение Д. Чтение или проверка формальных Д. не требует понимания формул как осмысленных суждений, а предполагает лишь установ­ление того, что формула, выступающая в качестве заключения при применении данного правила вывода, действительно сле­дует из формул-посылок по этому правилу. Такая трактовка Д. придает дедуктивной теории характер формальной теории, или исчисления. Д., трактуемые не как формаль­ные Д., а как рассуждения, требующие понимания содержа­ния (смысла) входящих п них суждений и понятий, называ­ются содержательными.

Теория (формальных) Д., основной идеей к-рой является изучение Д. как конечных материальных объектов, могущих быть написанными, напр., на бумаге и обладающих вполне определенным строением, восходит к Гильберту. Значение этой теории состоит в том, что значительное большинство теорий, рассматриваемых в математике, математической ло­гике и др. дедуктивных науках, допускает представление в виде исчислений, т. е. может быть формализовано. При этом существенно, что каждое Д. получаемого т. о. исчисле­ния имеет аналог в исходной содержательной теории. Практи­чески, однако, прибегать к формализации не всегда целесооб­разно; во многих случаях важна просто ее возможность; последняя имеет принципиальное значение, когда изучению подвергаются логические свойства теории, напр. ее н е п р о-тиворечивость. Изучение доказательств для каж­дой формальной теории может проводиться с помощью со­держательных Д., и теория, в к-рой рассматриваются такие Д.,наз. метатеорией исходной (т. н. предметной) теории. Если метатеория является дедуктивной теорией, она может быть р, свою очередь формализована в виде метаметатеории; при этом, однако, на нек-ром уровне в рассмотрение обяза­тельно войдет теория, трактуемая содержательно (т. е. не формально). См. Метатеория.

Приемы формализации Д., разработанные в математич. логике, могут применяться во всякой науке, в к-рой имеются дедуктивные умозаключения и Д.; наибольшее значение они в настоящее время имеют в математике, кибернетике и ло­гике как таковой.В экспериментальных науках, в к-рых важ­ное значение имеют логические методы, выходящие за рамки современной математической логики в узком смысле этого слова (как дедуктивной логики), для изучения Д. применя­ются др. методы, в частности средства современной логики индуктивной. Каждой отдельной науке (или группе наук) может соответствовать раздел логики, посвященный изуче­нию Д. в этой науке (этот раздел может одновременно состав­лять часть этой науки, что и имеет место в математике и от­части в юриспруденции). Развитие исследований в области оснований математики и математической логики привело к расщеплению логики на классическую, конструктивную и др., в соответствии с чем различают классические, кон­структивные и др. Д.

Лит.: Энгельс Ф., Анти-Дюринг, М., 1957, с. 33 — 34, 317; Ленин В. И., Материализм и эмпириокритицизм, Соч., 4 изд.. т. 14. гл. 2, 3; е г о же, Философские тетради, там же, т. 38, с. 181 — 82; М и л л ь Д ж. С, Система логики силлогистической и индуктивной, пер. с англ., М., 1914, кн. 2иЗ;Кэджори Ф., История элементарной матема­тики, иер. с англ., 2 изд., Одесса, 1917, с. 67—68, с. 338—40; Введенский А. И., Логика кан часть теории позна­ния, 4 иэд., П., 1922, гл. 5 —13; В е й л ь Г., О философии математики. Сб. работ, М.—Л., 1934; Бэкон Ф., Новый Органон, 2 изд., М.—Л., 1935; Челпанов Г. И., Учеб­ник логики, [М. ], 1946, гл. 25; А с м у с В. Ф., Логика, М., 1947, гл. 14; е г о ж е, Учение логики о доказательстве и опровержении, [М. ], 1954; Г и л ь б е р т Д., Основания гео­метрии, пер. с нем., М.—Л., 1948 (см. также добавл. 7—10); Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктив­ных наук. пер. с англ., М., 1948; Начала Звклида, кн. 1—VI, VII—X, XI—XV, пер. с греч. и комментарии Д. Д. Морду-хай-Болтовского, т. 1—3, М.—Л., 1948—50; Аристо­тель, Аналитики первая и вторая, пер. с греч., М., 1952; Марков А. А., Теория алгоритмов, М.—Л., 1954, гл. 1; Рассел Б., Человеческое познание, его сфера и границы, пер. [с англ.], М., 1957; П о й а Д., Математика и правдо­подобные рассуждения, пер. с англ., т. 1, М., 1957; К л и-н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, ч. 1, 2; С т а р ч е н к о А. А., Логика в судебном исследо­вании, М., 1958; Лукасевич Я., Аристотелевская сил­логистика с точки зрения современной формальной логики, пер. с англ., М., 1959, гл. 1—5; Франк Ф., Философия науки, пер. с англ., М., 1960, гл. 13 — 15; Горский Д. П.,

Вопросы абстракции и образование понятий, М., 1961; F r e g e G., Grundgesetze der Arithmetik, Bd 1—2, Jena, 1893 — 1903; Whitehead A. N.. Russell В., Prin-cipia mathematica, v. 1—3, 2 ed., Camb., 1927—35; H i 1-bert D. and Bernays P.. Grundlagen der Mathe-matik, Bd 1—2, В., 1934—39; Hey ting A., Intuitio-nism, Amst., 1956.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО — обо

снование суждения путем опровержения методом «приведения к нелепости» (reductio ad absurdum) нек-рого другого суждения,— именно того, к-рое является отрицанием обосновываемого (Д. от п. 1-го вида) или того, отрицанием к-рого является обосновы­ваемое (Д. от п. 2-го вида); «приведение к нелепости» состоит в том, что из опровергаемого суждения выво­дится к.-л. явно ложное заключение (напр., формаль­нологическое противоречие), что и свидетельствует о ложности этого суждения. Необходимость разли­чения двух видов Д. от п. вытекает из того, что в одном из них (именно, в Д. от п. 1-го вида) имеет место логи­ческий переход от двойного отрицания суждения к утверждению этого суждения (т. е. применяется т. н. правило снятия двойного отрицания, разрешающее

переход от А к А, см. Двойного отрицания законы), в то время как в другом такого перехода нет. Ход рас­суждения в Д. от п. 1-го вида: требуется доказать суждение А; в целях доказательства предполагаем, что суждение А неверно, т. е. что верно его отрицание: А (не-Л), и, опираясь на это предположение, логи­чески выводим к.-л. ложное суждение, напр. противо­речие, — осуществляем «приведение к нелепости» суждения А; это свидетельствует о ложности нашего предположения, т. е. доказывает истинность двойно­го отрицания: А; применение к А правила снятия двойного отрицания завершает доказательство суж­дения А. Ход рассуждения в Д. от п. 2-го вида: тре­буется доказать суждение А; в целях доказательства предполагаем верным суждение А и приводим это предположение к нелепости; на этом основании зак­лючаем, что А ложно, т. е. что верно А.

Поиск по сайту: