ИСЛАМ—ИСПАНСКАЯ ФИЛОСОФИЯ 14 страница

Лит.: Brockelmann С, Geschichte der arabischen Litteratur, Suppl.— Bd 2, Leiden, 1938, S. 759.

3. Левин. Москва. ИСЧИСЛЕНИЕ — обладающий определенными свойствами аппарат правил оперирования со знаками, используемый при эффективном решении задач (полу­чении искомого результата) или при доказательстве (соответственно—опровержении) предложений, вырази­мых с помощью этих знаков (на «языке» данного И.). Уже с самого начала своего развития (напр., у древ­них египтян и вавилонян в 4—2 тысячелетиях до н. э.) математика строилась прежде всего как И. В совр. школе также начинают изучение математики с нуме­рации и четырех действий арифметики, т. е. с правил, относящихся к оперированию со знаками (цифрами). Jlirnib в Древней Греции математика впервые была по­строена в виде аксиоматич. теории («Начала» Эвклида). Наряду с этой теорией продолжала, однако, существо-Вихь и арифметика, строящаяся как И. Такая арифме­тика называлась логистикой.

Нек-рые общие черты математических И., обу­словливающие их точность и строгость и основанные на том, что математические знаки суть достаточно жесткие, легко опознаваемые (различаемые и отож­дествляемые) конструктивные объекты и что правила оперирования с ними также носят конструктивный (проверяемый) характер, подметил еще Лейбниц, к-рый и хотел поэтому построить логику в виде И.,

оперирующего, как он сам говорил, со «словами» нек-рого искусств, «языка» или, для начала, исполь­зующего «другой, менее красииый путь», к-рый «со­стоит в том, что, но примеру математикой, пользуются буквами, удобными для того, чтобы фиксировать наш дух, и в том, что присовокупляют доказательство в числах», т. е. пользуются ари{шетизиронаш1ой, как говорят теперь, ф>рмой логич. И. «Я заметил, что причина того, почему мы, за пределами математики, так легко ошибаемся, между тем как геометры столь счастливы в их выводах, состоит лишь в том, что в гео­метрии и других частях абстоактной математики мож­но осуществлять поиски доказательства или проводить последовательные доказательства, сводя все к числам,— н притом не только для заключительного предложена, но и в каждый момент и на каждом шагу, который делают, исходя из посылок» (цит. по кн: L e i и и i z G. W., Fragmenle zur Los*ik, В., 1960, S. 16—17). В физике же, продолжает Лейбниц, опыт может опровергнуть заключит, результат длин­ной цепочки рассуждений, но не укажет, где именно в этой цепочке была ошибка. Однако идея Лейбница, полагавшего, что «единственное средство улучшить наши умозаключения состоит в том, чтобы сделать их столь же наглядными, как умозаключения математи­ков, так, чтобы можно было глазами найти свою ошиб­ку и, когда возникают споры между людьми, достаточ­но было сказать: „Посчитаем!"..., чтобы [стало ясно, как] увидеть, кто прав» (там же, S. 16), оказалась осуществимой полностью лишь в малоинтересных слу­чаях И., для к-рых разрешима разрешения проблема. В этой связи интересна заметка Энгельса из подгото­вит, работ к «Анти-Дюрингу» (1876), в к-рой он проти­вополагает (обычным) неточным логич. умозаключе­ниям («сколь многие из них оказываются ошибочны­ми!») математич. действия, «допускающие материаль­ное доказательство, проверку,—• так как они основаны на непосредственном материальном созерцании, хотя и абстрактном», почему им и «свойственна положитель­ная достоверность» (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 631). Уже Лейбниц подчеркивал также преимущества построения логики в виде И., обусловленные индуктивным характером последнего,— тем обстоятельством, что из небольшого числа исходных мыслей получается по порядку бесконечное множество др. мыслей. «Так из немногих чисел, взя­тых от единицы до десяти, могут быть выведены по порядку все остальные числа» («Fragmente zur Lo-gik», В., 1960, S. 24).

Однако до последнего времени термин «И.» употреб­лялся в математике и логике без строгого общего опре­деления. Математики создали дифференциальное и интегральное И., исчисление конечных разностей, вариационное, операционное и мн. др. И. В математич. логике были построены различные И. высказываний, И. классов, предикатов, задач, естеств. вывода, сек­венций, строгой импликации, модальностей и мн. др. Потребность в общей теории И. возникла, однако, совсем недавно. В 1943 амер. ученый Э. Пост построил свою теорию «продукций», или «канонических исчис­лений». В 1955 в кн. «Введение в оперативную ло­гику и математику» нем. математик и логик Лоренцев построил общую теорию И. как «оперативную логику». Развитию предложенного Лоренценом общего опре­деления И. посвящена работа амер. логика Керри «Исчисления и формальные системы» (1958). Широкое общее определение дедуктивного И. в терминах алго­ритмов или частично рекупсивных функций принад­лежит В. А. Успенскому (1953).

Определение И. (модификация опреде­ления Лоренцена, см. P. Lorenzen, Eiiifiih-rung in die operative Lo<?ik uud Malhemalik, B.— Gott.—Hdlb., 1955, T. 1 — Logik):

388 ИСЧИСЛЕНИЕ

Исчисление Я задается: а) алфавитом St его знаков, из к-рых будут составляться строчки, или «слова в алфавите 91»; б) начальными словами И.; в) правилами, позволяющими выводить слова из уже полученных (выведенных) слов (напр., из начальных, полученного из начальных на след. шаге, и т. д.). Алфавит здесь предполагается конечным. Начальные слова И. могут задаваться как непосредственно (списком), так и с помощью «формул», т. е. слов или строчек, в к-рых, помимо букв из алфавита 91, могут встречаться содер­жательные переменные, на место к-рых можно под­ставлять слова в алфавите 21. Такой список или «формула» наз. «начальным правилом» и обозначается n«i< (l^i<"i где "—число начальных правил). Правила вывода также формулируются с помощью «формул», т. е. слов в алфавите ttUS. представля­ющем собой объединение алфавита Щ с алфавитом J содержательных переменных (содержательных, т. е. рассматриваемых как принадлежащие к обычному язы­ку, на к-ром мы и разговариваем об исчислении Я). Эти правила имеют вид:

n_k:A[^k), А_г^к\..., А^{_п^к)->■ A<^k\ (п=э=1),

где Яд. -v имя правила (к — его номер); Af \...,.., А^>А(Ь) — слова (непустые) в алфавите 91 U ЭЕ; стрелка читается содержательно: как союз «если..., то» или как глагол «влечет» («влекут»). Если в резуль­тате подстановки к.-л. слов (в т. ч. и пустых) на ме­сто содержательных переменных в «формулы» А^^к\......, А^ получаются уже выведенные (ранее) слова, то слово, полученное при этой же подстановке из «фор­мулы» А^\ также считается выведенным, и притом по правилу n_k. Цепочка слов, в к-рой каждое слово есть либо начальное слово, либо слово, выведенное из к.-л. предыдущих по одному из правил Я_А, наз. выво­дом в исчислении Я.

Пример И. Рассмотрим исчисление Я,, определяе­мое след. образом: Алфавит Ш состоит из букв: +, О (запятая здесь не является знаком алфавита). В ка­честве содержательной переменной для слов в этом алфавите употребляется буква X. Исчисление Я, за­дается правилами: П₀₁: 0; П_г: X ->- ХО; П₂: X ->■ -\-X-\-. Покажем, что в Я, выводимо слово -\ —^-00++0, для чего построим его вывод. [Для облегчения про­верки вывода мы будем сопровождать его анализом (см. Вывод в математич. логике); на самом деле анализ здесь будет избыточной информацией: он может быть полностью восстановлен по цепочке олов вывода. Це­почка слов вывода будет при этом записываться в виде колонки, строчки к-рой последовательно занумеро­ваны. Стрелкой указывается, из каких строчек полу­чена данная строчка. Справа от получаемого слова помещаются имя правила, по к-рому это слово полу­чено, и (в скобках) слова, подставляемые при этом на место содержательных переменных].

Тут строчка 4, напр., содержит след. информацию о полученном в ней слове -|—(-00-)-+: оно получено по правилу Я₂: Х->-{-Х-{-, при замене X на +00+, что дает +00+^++00++. Т. к. слово +00+ уже выведено в строке 3, то выведено и слово -|—1-00++. Основные черты И. Ясно, что для доказатель­ства предложений, формулирующих общие свой­ства «слов», выводимых в И., достаточно проверить наличие этого свойства у всех начальных слов и затем убедиться в том, что правила вывода «сохраняют» это

свойство, т. е., что, если слова, полученные из «фор­мул» А&\..., а№ к.-л. (дозволенной) подстановкой на место содержательных переменных, обладают дан­ным свойством, то и слово A^(h) тоже обладает им («индуктивный» характер И.). Так, чтобы доказать, что все слова, выводимые в Я,, содержат четное число вхождений буквы «+», достаточно заметить, что: 1) в слове «0» буква «+» вообще не содержится, т. е. число ее вхождений — четное (нуль); 2) присоедине­ние буквы «0» справа к слову не изменяет числа вхож­дений буквы «+», почему, если слово X содержит четное число вхождений буквы «+», то и слово, полу­ченное из X по правилу Я,, также содержит четное число вхождений буквы «+»; 3) правило Я₂ также сохраняет это свойство слова X, поскольку его приме­нение увеличивает число вхождений буквы «+» на 2, т. е. на четное число.

На вышепривед. примере можно пояснить еще одно очень существенное для всякого И. понятие допусти­мого правила И. Правило наз. допустимым в И., если, добавив его к правилам И., мы не увеличим запаса слов, выводимых в И., т. е., если всякий вывод, в к-ром применялось это правило, можно заменить выводом (того же слова), не содержащим применений этого правила. В нашем исчислении Я, таким правилом может быть, напр., следующее: П₃: X -> -j—[-Х+0+. В том, что этим правилом можно пользоваться именно потому, что без него можно обойтись, нетрудно убедиться так. Рассмотрим к.-л. вывод, где это пра­вило применяется. В таком случае оно применяется где-то в первый раз. Пусть это будет на /-том шаге вы­вода, к-рый при этом будет выглядеть так:

/ + / + + С + 0+ П,(С),

где С — слово в алфавите J+ 0|, выведенное (в нашем примере) на /-ом шаге. Выбросим теперь из нашего вывода 1-ую строку и заменим ее группой строк:

/'-*• +С+ П₂(С)

/-/+1. +С+0 Я,(+С+)

/+1-W+2. + + С+0+ Я₂(+С+0).

Теперь слово -|—(-С+0+ выведено без применения правила Я₃, хотя, правда, вывод при этом удлинился: вместо одного применения правила Я„ нам пришлось применить последовательно правила Л₂, П₁, П_г. Если в измененном т. о. выводе еще применяется где-нибудь правило Я₃, то опять есть строчка, где оно применяется в первый раз и где мы снова можем его применение исключить. Так мы будем поступать до тех пор, пока не исключим все применения правила Я, из нашего вывода. В более интересных случаях допу­стимость правила может доказываться не столь просто (напр., может потребовать индуктивного вывода). Из Особенно важных теорем о допустимости нужно упомянуть прежде всего т. н. теорему о дедукции.

Во мн. случаях бывает существенной, однако, воз­можность действительного расширения не только запаса средств И., но и запаса слов, выводимых в нем. Если «словами», выводимыми в И. (их наз. иногда «теоремами» И.), являются истинные предложения к.-л. науч. теории, то наиболее «безопасным»,— в смысле невозможности сделать выводимым к.-л. лож­ное предложение,— является расширение И. с по­мощью определений, состоящих во введении новых знаков в алфавит И. и сопряженных с этими знаками правил их введения и исключения, таких, что добав­ление их к исчислению И но делает выводимым в рас­ширенном исчислении Я' ни одного слова в алфавите исчисления Я, к-рое было невыводимым в И. (Такое расширение И., к-рое не изменяет запаса теорем, не содержащих вхождений новых знаков, наз. иногда консервативным; см., напр., Р. С. Rosen-

ИСЧИСЛЕНИЕ 389

bloom, The elements of mathematical logic, N. Y., 1950, p. 164). Практически алфавит И. чаще всего бывает бесконечным. Требование конечности алфавита пе налагает, однако, к.-л. существенных ограничений на определение И., поскольку в последнее всегда можно ввести правила, позволяющие и алфавит определять индуктивно, начиная с к.-л. исходных знаков; напр., так: исходный алфавит — знаки: а(); «букву» определим индуктивно так (на место содержа­тельной переменной X можно подставлять слова в исходном алфавите): П₀,: (а); П,: (Х)-^(Ха); тогда «буквами» будут слова: (a), (an), (aaa) и т. д.; алфавит из этих букв будет уже бесконечным (о буквах, словах, алфавитах см. А. А. Марков, Теория алгорифмов, «Тр. матем. инст. им. В. А. Стеклова», [т.] 42, М.—Л., 1954, гл. 1).

Учитывая потребности дедуктивных И., в к-рых сначала индуктивно определяются «правильно по­строенные» (осмысленные) формулы И., а затем зада­ются правила, позволяющие выделять (также индук­тивно) из осмысленных формул те, к-рые являются истинными (доказанными), X. Кёрри (см. Н. Curry, Calculuses and formal systems, «Dialectica», 1958, v. 12, № 3/4) предлагает строить И. начиная с нек-рого исходного исчисления Я₀, определяющего объекты (слова), с к-рыми будет оперировать след. исчиелв' иие Я,. Слова, выведенные в исчислении Я,, в свою очередь, могут быть объектами, с к-рыми оперирует исчисление Я₂ и т. д. Так, напр., И. высказываний (классическое) может быть построено след. образом: сначала строим исчисление Я_с, алфавит к-рого со-стоит из знаков p_t(). Содержательная переменная X употребляется для слов в этом алфавите. Правила исчисления Я₀: П^: (р); П^: (Х)-+{Хр). Теперь строим исчисление Я,, алфавит к-рого состоит из знаков / () Z2 и всех слов, выводимых в Я₀. Содер­жательная переменная Z употребляется для слов, выводимых в Я₍, содержи тельные переменные X, У — для слов в алфавите исчисления Я,. Правила исчис­ления Я,: Л<£>: Z; П^: X,Y - (Xz)Y). [Этим И. определяются «правильно построенные» формулы исчисления высказываний. Здесь /—знак «лжи», Э — знак импликации («если..., то»), (Xzd1) соот­ветствует отрицанию формулы X. Примерами слов, выводимых в этом И., могут служить: (р), (рр), ((р)=>(рр)), ((p)=>f), U=>(P)), ((р)=> (/>))•] Исчисление А'_г (определяющее «истинные» формулы И. высказы­ваний) строится так. Его алфавит тот же, что у К₁. Содержательные переменные X, У, Z употребляются для слов, выводимых в К₁. Правила исчисления К₂:

П^{^>: (X=>(Y=»X))

П^>: ((X z> (У гэ Z)) з ({X г> У) гз (X ZD Z)))

Л⁽£>: (((2Г=)/)=з/)=)2Г)

Я<*^з): X, (X zdY)-^Y.

[Начальные правила этого И. наз. схемами ак­сиом. Единств, правилом вывода служит modus ponens. Нетрудно показать (см., напр., А. Чёрч, Введение в математическую логику, пер. с англ., М., I960), что из приведенных выше примеров правильно построенных формул две последние (и только эти) являются выводимыми «словами» в Я₂]. Такого рода сложные системы, состоящие из расположенных как бы по ступеням (или по рангам) П.,— так, что пере­менные более высокого (по рангу) И. могут употреб­ляться для слов,выводимых в И.более низкого ранга,— наз. градуированными И. Нетрудно пока­зать, что, вводя в алфавит в качестве характеристики ступеней И. новые буквы, можно свести всякое гра­дуированное И. к И. первой ступени.

Из определения И. ясно, что всякий вывод в Не­действительно обладает той «положительной досто­верностью*, о к-рой шла речь в приведенной заметке Энгельса. Если отвлечься от того, что вывод может оказаться очень длинным и проверка его, по меньшей мере, утомительной, т. е. если стоять на т. зр. допу­стимости абстракции потенциальной, осуществимее/ли, то можно будет сказать, что всякий (законченный) вывод в И. может быть полностью проверен и для вся­кого слова в алфавите этого И. можно однозначно ответить на вопрос: выводится оно в д а н н о м вы­воде или нет. Естественно возникающим в примене­нии ко всякому исчислению И является и вопрос о том, как по слову С в алфавите этого И. распознать, яв+ ляется ли оно выводимым в этом И. или нет. Этот вопрос наз. проблемой разрешения для ис-числения И. Но с ним ситуация уже другая. Трактуе-* мая как задача отыскания общего метода (алгоритма), применимого к любому слову С в алфавите исчисле-> ния И и перерабатывающего его в один из ответов «да» или «нет», в зависимости от того, выводимо С в И или нет,— проблема разрешения в общем случае нераз­решима. Более того, те случаи, в к-рых она разрешима, принадлежат к числу самых простых и мало интерес­ных. В применении к логич. И. вопрос этот заведомо разрешим обычно для той ступени И., на к-рой опре­деляются (индуктивно) правильно построенные фор­мулы И. (нек-рая общая теорема, относящаяся к уело-виям его разрешимости, доказана в упомянутой статье X. Кёрри). Но уже для функциональных И (И. пре­дикатов) первого порядка он неразрешим на той ступени, где определяются «истинные» формулы И. (в этом и состоит содержание известной теоремы А. Чёрча; см. Алгоритм). Заметим, что проблема раз­решения для исчисления И разрешима в том и только в том случае, когда можно построить такое консерва­тивное расширение исчисления Ы, в к-ром, в случае выводимости слова С в И, выводимо слово ЫС, а в случае невыводимости С — слово jtC, где М (от «истина») и Л (от «ложь»)— буквы, не содержащиеся в алфавите исчисления И (см. Р. С. Rosenbloom, указ. соч., р. 164, 165).

В определении И. по Лоренцену всякое правило вывода устроено так, что любой ряд слов в алфавите 81 исчисления И, подставляемых на место переменных, входящих в «формулы» А^,..., А^, оно перера­батывает в слово в алфавите 31, получаемое (той же подстановкой) из «формулы» A^^h\ т. е. его можно трактовать как «всегда применимый» алгоритм. В оп­ределении И. по В. А. Успенскому («Теорема Гёделя и теория алгоритмов», «Докл. АН СССР», 1953, т. 91, № 4, с. 737—40) правила вывода трактуются как алго­ритмы, к-рые, будучи примененными к нек-рому ряду слов, могут и не давагь ничего (не заканчиваться). Наоборот, в определении канонических исчислений по Посту (см. «Formal reductions of the general com­binatorial decision problem», в журн. «Amer. journ. of math.», v. 65, № 2, 1943, p. 197—215), на «формулы» A^\..., A^\ A^ накладываются нек-рые дополни­тельные ограничения, так что на первый взгляд опре­деление представляется более узким, чем определение Лоренцена. Тем не менее тезис, отстаиваемый Постом, состоит в том, что каждый точный язык, содержащий эффективно применимые правила вывода (т. е. без пра­вил типа бесконечной индукции), к-рый когда бы то ни было был построен, может быть сформулирован как каноническое И. Пост ввел еще более специальное по­нятие нормального И., в к-ром есть лишь одно начальное правило (аксиома), а все правила вывода («продукции») имеют виц С_ХХ-+ХС₂ (где С, и С₂— слова в алфавите исчисления; X — содержательная переменная), и доказал, что всякое канонич. И. имеет

39.) ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ — ИТАЛЬЯНСКАЯ ФИЛОСОФИЯ

консервативное нормальное расширение (теорема Поста). 13 свете тезиса Поста интересно также, что Лоренцену удалось построить общую теорию И. в виде И. («оперативной логики»), выводимыми словами к-рого являются все общедопустимые (допустимые в любых И., их мета-исчислениях, мета-мета-ис­числениях и т. д.) правила вывода, и что этим И. окапалась конструктивная, или интуиционистская, ло-гиьа (исчисление Гейтинга). (He-общезначимость за­кона исключенного третьего в применении к понятию «выводимости в Я», где И — произвольное И., яв­ствует из того, что «не-выводимость С в Я» фактически тр.ктуется Лоренценом как выводимость слова ЛС в иек-ром консервативном расширении И' исчисле­ния И, что сводит вопрос о применимости закона исключенного третьего к вопросу о разрешимости проблемы разрешения).

Близким к понятию И., но в нек-ром смысле более
общим, является понятие формальной системы (см.,
напр., С. К. Клини, Введение в метаматематику, пер.
с англ., М., 1957, гл. 4 и ряд соч. Кёрри, напр.,
H.Curry and R. Feys, Combinatory logic, v. 1, Amst.,
1958, где имеется большая библиография). Соот­
ношению между формальными системами и И. посвя­
щена упомянутая работа Керри «Исчисления и фор­
мальные системы». С. Яновская. Москва.

ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ — раздел сим-волич. логики, в к-ром изучаются логич. связи между высказываниями, рассматриваемыми в отвлечении от их субъектно-предикатного строения; необходимая часть исчисления предикатов. См. Логика высказыва­ний.

ИСЧИСЛЕНИЕ ЗАДАЧ — интуиционистское ис­числение высказываний, понимаемое в свете интер­претации, к-рую предложил в 1932 сов. ученый А. Н. Колмогоров. Эта интерпретация была свободна от гносеологич. установок интуиционизма и вскры­вала содержательный материалистич. смысл указ. исчисления. При интерпретации Колмогорова значе­ниями переменных в формулах являются любые задачи. Если р и q задачи, то формулы р & q, p\/q, p^>q и ~\р толкуются, соответственно, как задачи: «Решить задачу р и задачу q», «Решить задачу р или задачу?», «Свести решение задачи q к решению задач! р» и «Предполагая задачу р решенной, прийти к противоречию». Эта интерпретация положила на­чало разработке принципов конструктивного понима­ния логич. связей и конструктивного истолкования суждений логики и математики.

При интерпретации Колмогорова каждой доказуе­мой формуле 31 (р,, р₂,..., р_п) интуиционистского исчисления высказываний (см. Интуиционистская логика) соответствует класс задач, имеющих общий метод решения (не зависящий от конкретного содержа­ния задач р,, р₂,..., р_п). Формуле же р\/п р. не дока­зуемой в указ. логич. исчислении (она выражает принцип исключенного третьего), соответствует класс задач вида «Решить задачу р или, предполагая за­дачу р решенной, прийти к противоречию», существо­вание общего метода решения к-рых как раз не оче­видно.

В интерпретации Колмогорова оставалось не вы­ясненным, что надо понимать под общим методом решения задач нек-рого класса и под сведением реше­ния одной задачи к решению другой. Это было уточне­но (и притом различными способами) после того, как в 30-х гг. были разработаны точные понятия алгоритма и вычислимой (рекурсивной) функции (см. Рекурсив­ные функции и предикаты), что позволило строго до­казать несуществование общего метода (алгоритма) решения задач из класса, соответствующего формуле pV~i p. Действительно, существование такого алго­ритма означало бы, в частности, существование алго-

ритма решения задач вида «Доказать выводимость формулы 31 в исчислении S или, предполагая формулу 31 доказуемой в нем, прийти к противоречию» (в ка­честве р взята задача «Доказать выводимость 31 в исчислении Л). Алгоритм решения задач этого вида П|>и нек-ром конкретном S является решением разре­шения проблемы для исчисления S. Но, как показал Чёрч (1936), эта проблема неразрешима, напр., для узкого исчисления предикатов.

Идеи Колмогорова получили развитие в работах Клини (1945) (см. Реализуемость), Медведева (1955), Шанина (1958). См. Конструктивная логика.

Лит.: П и л ь ч а к Б. Ю, Об исчислении задач, «Укр
мат. ж.», 1952, т. 4, № 2, с. 174—94; ее же, О проблеме
разрешимости для исчисления задач, «Докл. АН СССР», 1УЬО,
т. 75, № 6, с. 773—76; Медведев Ю. Т., Степени труд­
ности массовых проблем, там же, 1955, т.104, № 4, с. 501—504;
Шанин Н. А., О конструктивном понимании математи­
ческих суждений. «Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова», 195S-,
т. 52, с. 226—311; его же, Об алгорифме конструктивной
расшифровки математиче"ких суждении, «Z. Math. Logic und
Grundlagen der Math.», 1958, Bd 4, H. 3, S. 293—303; Клини
С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957,
§ 82; Kolmogoroff A., Zur Deutung der intuitionisti-
schen Logik, «Math. Z.», 1932, Bd 35, S. 58—65; Church A.,
A note on the Entscheidungsproblem, «J. Symb. Logic», 1936,
v. I, № I, p. 40—41; К 1 e e n e S. C, On the interpretation
of intuitionistic number theory, там же, 1945, v. 10, №4,
p. 109—24. Б. Пиль<ак. Москва.

ИСЧИСЛЕНИЕ КЛАССОВ — раздел совр. логики, по содержанию соответствующий силлогистике Ари­стотеля и исторически предшествующий исчислению высказываний, с к-рого теперь обычно начинают рас­смотрение математической логики. Первые развитые И. к. были построены (сначала скорее в виде алгебры, а не исчисления в совр. смысле) Булем, Джевонсом, Э. Шредером, Пирсом, Порецким. См. Логика классов.

С. Яновская. Москва.

ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ — раздел сим-волич. логики, в к-ром изучаются логич. операторы всеобщности и существования в связи с рассмотре­нием субъектно-предикатной структуры суждений; составляет гл. содержание совр. формальной логики. См. Предикатов исчисление.

ЙТАИ (от искаженного произношения англ. ether — эфир) — понятие единой материальной субстанции ми­ра, вошедшее в историю кит. философии нового вре­мени. Это понятие заменило традиц. конфуцианские категории ци, тайцзи и др. Впервые материалистич. трактовку понятие И. получило в соч. кит. философа Тань Сы-туна. Концепцию И. как бесформенной, всезаполняющей первоматерии использовал также Сун Ят-сен для объяснения происхождения и раз­вития мира. В наст, время термин «И.» употребляется в Китае лишь естествоиспытателями для обозначения физич. понятия «эфир».

Лит.: С е н и н Н. Г., Сунь Ят-сен — великий китайский революционер-демократ, М., 1956; его же, Прогрессив­ные мыслители Китая конца XIX в., М., 1958; Сун Ят-сен, Сунь Чжун-шань сюань цзи (Учение Сунь Вэ я, Избр. произв., ч. 1), Пекин, 1956; Тань С ы-т у н, Жэнь сюэ (Учение о гуманности), Пекин, 1958. Н. Сепии. Москва.

ИТАЛЬЯНСКАЯ ФИЛОСОФИЯ. В развитии фи-лос. идей в Италии различаются следующие гл. пе­риоды: рабовладельческий (античный), феодальный (средневековый), период перехода от феодализма к капитализму (гл. обр. эпоха Возрождения), капита­листический (включая и период империализма вплоть до современности).

В рабовладельческом (античном) п е р и оде развития философии на территории совр. Италии, продолжавшемся примерно с копна 6 в. до н. э. до 5—6 вв. н. э., можно выделить ее др.-греч. и др.-рим. этапы. С конца 6 — нач. 5 вв. до н. э в Юж. Италии и в Сицилии развернулась деятельность Пифа­гора и его школы, а затем элейской школы, Эмпедокла и нек-рых др. представителей древнегреческой философии. Однако для развития философии в Древней Италии

ИТАЛЬЯНСКАЯ ФИЛОСОФИЯ 391

более важную роль сыграли представители римской философии, —с одной стороны, материалист Лукреций, с другой,— представители различных идеалистич. и эклектич. школ — Цицерон, Сенека и др. мысли­тели, писавшие на лат. яз. В дальнейшем с Италией частично была связана деятельность Августина, про­изведения к-рого, написанные на лат. яз., сыграли значит, роль в процессе перехода философии антич. рабовладельч. общества в философию ср.-век. феод, общества как в Италии, так и вообще в Зап. Европе. В меньшей степени то же самое следует сказать о фи­лософии Боэция, также писавшего на лат. яз.

В феодальный (средневековый) период развития философии на территории совр. Италии (прибл. 6—14 вв.) осн. ее направлениями явились: схоластика (ранняя и поздняя), обслуживав­шая господствующую рим.-католич. церковь; мистика, также находившаяся на службе этой церкви; мистика, выражавшая интересы угнетенных крестьяпско-плебейских масс; падуанский аверроизм, связанный в своем развитии с зарождавшейся бюргерской оппо­зицией феодализму. Одним из представителей схо­ластики был Петр Дамиани (1007—72), выступавший за полное подчинение «диалектики» (т. е. философии) богословию и выдвинувший формулу о философии как «служанке теологии» (ancilla theologiae). Другой схоластик, Ланфранк, тоже итальянец по происхож­дению, деятельность к-рого, однако, протекала гл. обр. в Нормандии и Англии, считался одним из наи­более искусных «диалектиков» своего времени. Его учеником стал знаменитый Ансельм Кентерберийский, происходивший из Аосты (в Пьемонте), самый вид­ный представитель ранней схоластики в Зап. Европе («отец схоластики», как наз. его мн. историки фи­лософии). К числу последующих представителей схо­ластики, происходивших из Италии, относится Петр Ломбардский. Уроженцем Тоскании был один из наи­более видных представителей ортодоксального ав-густинского мистицизма 13 в. Иоанн Фиданца, про­званный Вонавентурой. Его младший современник и друг Фома Аквинский пошел, однако, по др. филос. пути и стал центр, фигурой зап.-европ. схоластики. Уроженец Аквино (недалеко от Неаполя), Фома свою лит.-преподават. деятельность развивал гл.обр. в Париже и Кёльне, однако приезжал и в Италию, в частности в Неаполь (1272—74).

Поиск по сайту: